和差算２。

 【 問題 】４年生向け

会議室に3人掛けと5人掛けの机を合わせて31台用意したところ、参加者のうち4人が座れませんでした。もし3人掛けと5人掛けの机の台数を逆にしていたら、参加者は全員座れた上に2人分の席が余りました。参加者は何人でしたか。

【 解答 】

4＋2＝6人

6÷(5－3)＝3台

(31＋3)÷2＝17台

17－3＝14台

3×17＋5×14＋4＝125人

できれば4年生のうちに暗算でできるようになって欲しい。だって、問題文を読むと用意した机は3人掛けの方が多いと分かるでしょ、もし3人掛けの方が1台だけ多い場合、逆にしたら2人多く座れる、じゃあ、もし3人掛けの方が2台だけ多い場合、逆にしたら4人多く座れる、なら、6名多く座れるためには3台多ければいいんだ。どっちが多いとか少ないとか、本来であれば小学生の得意分野だ、この当たり前感覚は大事にして欲しい。では、いきましょう。

机の台数を逆にしたら6名（＝4＋2）多く座れる、ということは、用意した机は3人掛けの方が5人掛けよりも多かったんだ。ここが1番のポイント、当たり前感覚を鈍らせたらダメだ。

3人掛けが5人掛けよりも1台多いとする、これを逆にするとたくさん（多く）座れるのは分かるはず、そのたくさん（多く）座れる人数は3人減って5人増えるんだから2人だ。

3人掛けが5人掛けよりも2台多いとする、これを逆にするとたくさん（多く）座れて、そのたくさん（多く）座れる人数は6人減って10人増えるんだから4人だ。

問題では、4人が座れなかったのが2人分の席が余るようになる、とあるのだから、机の台数を逆にしたら4＋2＝6人多く座れるようになった。

1台多い＝2人多く座れる

⇒ 6人多く座れる＝3台多い

できました☆

用意した机の台数は3人掛けの方が5人掛けよりも3台多く、机は全部で31台だから

3人掛け＋5人掛け＝31

3人掛け－3人掛け＝  3

⇒ 3人掛け＝17台、5人掛け＝14台

となり、参加者の人数は

3×17＋5×14＋4＝125人

3×14＋5×17－2＝125人

となる。逆にする前と後でちゃんと数字が合うね！

よって、答えは125人となる。

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割り算。

 【 問題 】３年生向け

AさんとBさんが同じ計算をします。

Aさんが、▢÷△の計算をしたところ、商が16で余りが25になりました。

Bさんが、▢÷△の計算をしたところ、商が16.2で割り切れました。

▢と△はそれぞれいくつですか。

【 解答 】

余りの25が商の0.2にあたるんだなと3年生くらいで思えるようになって欲しい。では、いきましょう。

▢÷△＝16…25

▢÷△＝16.2

逆算して▢を出してあげよう。

▢＝△×16＋25

▢＝△×16.2

⇒ △×16＋25＝△×16.2

⇒ △×0.2＝25

⇒ △＝125

できました☆

▢＝125×16＋25＝2025

▢＝125×16.2＝2025

Aさんのやり方でもBさんのやり方でもどちらでも同じ数字になったね。

テストのときは

△×0.2＝25

⇒△＝125

から入るんだよ！そして確認！

よって、答えは2025、125となる。

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倍数変化算２。

 【 問題 】４～５年生向け

ある中学校の入学試験で志願者数は入学定員数の4.5倍でした。試験当日に志願者のうち108人が欠席し、合格発表で中学校が定員よりも95人多く合格者を出したため、実質倍率（受験者数÷合格者数）は2.8倍になりました。入学定員数は何人ですか。

【 解答 】

問題文のとおりに式を作っていけばいい。では、いきましょう。

入学定員数＝②

志願者数　＝⑨

定員数を②とおいて、志願者数も整数値にした。

受験者数＝⑨－108

合格者数＝②＋95

合格者数×2.8＝受験者数だから、②＋95に×2.8をすれば一番速いのだけど、ここでは内項の積＝外項の積（ Read more » cf.やりとり算1 ）の練習のために比でやってみよう。

合格者数×2.8＝受験者数

⇒ 合格者数：受験者数＝5：14

できました☆

⑨－108：②＋95＝14：5

⇒ ㉘＋1330＝㊺－540

⇒ ⑰＝1870

⇒ ①＝110

⇒ ②＝220

よって、答えは220人となる。

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数列２。

 【 問題 】４年生向け

0、2、5を使って次のように小さい順に並べます。

0、2、5、20、22、25、50、52、55、200、202、205、220…

たとえば、25は6番目の数で、10番目の数は200です。

(1) 2025は何番目の数ですか。

(2) 2025番目の数は何ですか。

【 解答 】

n進法プラス変則n進法の問題だね。簡単なんだけど10進法→3進法、3進法→10進法が身に付けられない子が多い。覚えられるまで帰れません😆を塾でやってもらおう😂。ここでは順々に数え上げる方法でやってみるけど、進法の変換を覚えた方が断然お得（得策）だと思うから、4年生くらいから少しずつ練習した方がいい。では、いきましょう。

(1)

桁数に着目して数えていこう。

1桁 ⇒ 3個

2桁 ⇒ 2×3＝6個

3桁 ⇒ 2×3×3＝18個

4桁 ⇒ 2000,2002,2005,2020,2022,2025

できました☆

2025は

3＋6＋18＋6＝33番目

の数字となる。変則n進法でやるときは最初の0を含めないとだよ！要注意だね。

よって、答えは33番目となる。

(2)

ちょっと面倒だけどさっきと同じように数え上げてみる。

1桁 ⇒ 3個

2桁 ⇒ 2×3＝6個

3桁 ⇒ 2×3×3＝18個

4桁 ⇒ 2×3×3×3＝54個

5桁 ⇒ 2×3×3×3×3＝162個

6桁 ⇒ 2×3×3×3×3×3＝486個

7桁 ⇒ 2×3×3×3×3×3×3＝1458個

ここまでで2025を超えてしまった。そう、2025番目は7桁のどこかにある数だ。

6桁までで

3＋6＋18＋54＋162＋486＝729個

の数がある（残りは2025－729＝1296個）。

7桁の数に注力してみる。小さい方から細かく数え上げる。

7桁目の数が2のとき

＝ 2▢▢▢▢▢▢

⇒ 3×3×3×3×3×3＝729個

ここまでで729＋729＝1458個（残りは2025－1458＝567個）。

7桁目の数が5で6桁目の数が0のとき

＝ 50▢▢▢▢▢

⇒ 3×3×3×3×3＝243個

7桁目の数が5で6桁目の数が2のとき

＝ 52▢▢▢▢▢

⇒ 3×3×3×3×3＝243個

ここまでで1458＋243×2＝1944個（残りは2025－1944＝81個）。

見えてきた。55▢▢▢▢▢に答えがある。

残りは81個、お、やった、ついてる、81＝3×3×3×3だから、550▢▢▢▢にして、▢▢▢▢には最後（最大）の5555が入る。

できました☆

5505555

これが2025番目の数だ。

数え上げでも良いんだろうけど、お得（得策）ではないと思う。数字に弱い子ならアウトになる可能性特大だ。

進法の変換を正しく身に付けてしまえば

2025－1＝2024

3|2024

3|  674 … 2

3|  224 … 2

3|    74 … 2

3|    24 … 2

3|      8 … 0

         2 … 2

⇒ 2202222

⇒ 5505555

だけでスマートに正答に至れる。計算力に自信がない子ほど早い時期から進法に着手して欲しい。進法もゆっくり丁寧を積み上げていけば必ず体得できるはず、こんな数えるだけ問題で失点するなんてもったいないよ！

よって、答えは5505555となる。

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場合の数６。

  【 問題 】５～６年生向け

さいころを4回投げて出た目を順にa、b、c、dとします。a＋b＋c＋dが6の倍数になるとき、a、b、c、dの組み合わせは何通りありますか。

【 解答 】

場合の数は名前のとおり場合分けをするんだけど、6の倍数を全部数え上げるのはちょっと大変そう。和が6の倍数→6、12、18、24と4パターン。4パターンか、、いけなくもなさそうだから頑張ってやってみる。

和＝6の場合

（1,1,1,3）4通り

（1,1,2,2）６通り

4＋6＝10通り

和＝12の場合

（1,1,4,6）12通り

（1,1,5,5）6通り

（1,2,3,6）24通り

（1,2,4,5）24通り

（1,3,3,5）12通り

（1,3,4,4）12通り

（2,2,2,6）4通り

（2,2,3,5）12通り

（2,2,4,4）6通り

（2,3,3,4）12通り

（3,3,3,3）1通り

12＋6＋24＋24＋12＋12＋4＋12＋6＋12＋1＝125通り

和＝18の場合

（1,5,6,6）12通り

（2,4,6,6）12通り

（2,5,5,6）12通り

（3,3,6,6）6通り

（3,4,5,6）24通り

（3,5,5,5）4通り

（4,4,4,6）4通り

（4,4,5,5）6通り

12＋12＋12＋6＋24＋4＋4＋6＝80通り

和＝24の場合

（6,6,6,6）1通り

⇒ 10＋125＋80＋1＝216通り

許される時間内にできそうではあるけど、やっぱり厳しいと思う。工夫してやってみよう。

aとbとcは何でもいいんだ。

たとえば、a＝1、b＝5、c＝3にしようか。

a＝1、b＝5、c＝3のとき、和が6の倍数になるためには

d＝3

であればいい。1通りだけだね。

じゃあ、a＝3、b＝4、c＝5だったらどうだろうか。

a＝3、b＝4、c＝5とき、和が6の倍数になるためには

d＝6

であればいい。1通りだけだね。

さらに、じゃあ、a＝6、b＝5、c＝5だったらどうだろうか。

a＝6、b＝5、c＝5とき、和が6の倍数になるためには

d＝2

であればいい。1通りだけだね。

そうなんだ、実はaとbとcがどんな目であってもdは必ず1通りあるんだ。なんで？も大事なんだけど、ここはね、自分で数字を当てはめて自分で確認して「確かに！絶対に1通りしかない！」と実感して欲しい、その実感が大事。そのあとに、なんでだろ？、がくると最高だね。

できました☆

aとbとcの目の出方は

6×6×6＝216通り

その216通りに対してdは必ず1通りあるんだから、a＋b＋c＋dが6の倍数になるのは

216×1＝216通り

よって、答えは216通りとなる。

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数の性質６。

 【 問題 】５～６年生向け

１～2025の整数について、3の倍数ではあるが9の倍数ではなく5の倍数ではあるが25の倍数ではない整数は、全部で何個ありますか。

【 解答 】

大学入試でも出題されそうな問題だね。易しくはないけど難しいはずがない。では、いきましょう。

3の倍数でもあるし5の倍数でもあると言ってる、そう、15の倍数なんだ。

15の倍数なんだけど、15の倍数の中にある9の倍数と25の倍数はダメだと言ってる。

15の倍数でもあり9の倍数でもあるのは45の倍数、15の倍数でもあり25の倍数でもあるのは75の倍数、そう、15の倍数のうち45の倍数と75の倍数はダメなんだから、15の倍数の個数から45の倍数の個数と75の倍数の個数を引いてあげればいい。

15の倍数 → 2025÷15＝135個

45の倍数 → 2025÷45＝  45個

75の倍数 → 2025÷75＝  27個

⇒ 135－(45＋27)＝63個

ここで安心してはダメだ。引き過ぎてる。

45の倍数の個数と75の倍数の個数を引いたんだけど、45の倍数でもあり75の倍数でもある225の倍数を重複して引いてしまってる。だって、225の倍数は45の倍数の個数にも75の倍数の個数にも入ってるでしょ、2回も引いてることになってるから1回分を戻さないといけない。

2025÷225＝9個

225の倍数は9個、これが2回引いたことになってるから1回分を足して戻してあげよう。

63＋9＝72個

これが問題の条件を満たす整数の個数だね。

ここではベン図を省略したけど、ベン図を書いて確認できると良いね。

よって、答えは72個となる。

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倍数算４。

 【 問題 】３～４年生向け

遊園地内を走る園内専用バスがあります。バスはA駅を出発して、B駅、C駅の順に停車して、終点のD駅まで運行します。A駅で乗ってD駅で降りた人数は7人でした。B駅では11人が降りて8人が乗り、Ｃ駅では12人が降りて2人が乗りました。また、Ａ駅で乗ってＣ駅で降りた人数は、Ｂ駅で乗ってＤ駅で降りた人数の2倍でした。Ａ駅で乗ったのは何人ですか。

【 解答 】

単純な乗り降りの問題だから簡単な表を書いてしまえば小学生は難なく解けると思う。では、いきましょう。

表を書くと下のような感じになる。

Aで乗った人はBかCかDで降りる。

Bで乗った人はCかDで降りる。

Cで乗った人はDで降りる。

A、B、Cで乗った人の合計と、B、C、Dで降りた人の合計は同じ。乗った人は必ず降りるからね、当たり前の確認が大事だね。

あとは問題文に記載のとおり、順々に数字を入れて表を完成させるだけ。

B→D＝①、A→C＝②、何の情報もないB→Cは▢とした。

もうね、この類の問題は僕なんかより小学生の方が上手だよ👍👌

表を完成させるとA→B＝11人、A→C＝8人、A→D＝7人の合計は26人で、これがAから乗った人数だね。

よって、答えは26人となる。

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平均算３。

 【 問題 】４～５年生向け

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人が算数のテストを受けました。Bさんの点数は80点で4人の中で最も高い点数でした。BさんとCさんの合計点はＤさんの点数の2倍で、CさんとDさんの合計点はAさんの点数の2倍でした。また、AさんとCさんの点数の差は4点でした。Cさんの点数は何点ですか。

【 解答 】

ちょっと式にしてみようか。問題文を忠実に式にしてあげると

B＝80（最高点）

B＋C＝D×2

C＋D＝A×2

A－C＝4またはC－A＝4

うーん、式をいじれば解けはするけど違うよね、それではただ式を無味乾燥な状態で解いてるだけになってしまう。

BさんとCさんの合計点はDさんの点数の2倍、これの意味を捉えるんだ。

BさんとCさんの合計点はDさんの点数の2倍

＝DさんはBさんとCさんの平均

＝DさんはBさんとCさんの点数のちょうど真ん中の点数

Bさんは最高点とあるから、ここを見るだけでもB>D>Cの並びが分かる、もちろん、B－D＝D－Cだ。

同じように

CさんとDさんの合計点はAさんの点数の2倍

＝AさんはCさんとDさんの平均

＝AさんはCさんとDさんの点数のちょうど真ん中の点数

さっきのB>D>Cと合わせると、B>D>A>Cとなる。もちろん、D－A＝A－C＝4点だ。

ほぼ式なしでできそうだね！図示すると下のようになる。

できました☆

Bさん＝80点

Dさん＝80－8＝72点

Aさん＝72－4＝68点

Cさん＝68－4＝64点

よって、答えは64点となる。

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速さ５。

 【 問題 】４～５年生向け

スタートからゴールまで42.195kmを走ります。前半の21.0975kmを時速12.6km、後半の21.0975kmを時速▢kmで走ると、42.195kmを時速14.7kmで走るのと同じタイムになります。▢に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

いわゆる調和平均の問題、理屈は分かっていても数字に強くないと簡単にはいかないと思う。では、いきましょう。

たとえば、前半を時速4km、後半を時速12kmだと全体を時速6kmと同じことになる。距離は関係ないんだ。何kmであろうと、前半＝時速4km、後半＝時速12kmだと全体＝時速6kmになる。

検証しよう。

＜ 前半＝時速4km、後半＝時速12kmの場合 ＞

・前半＝後半＝12kmとすると、前半にかかる時間＝3h、後半にかかる時間＝1h

⇒ 全体＝24kmを3＋1＝4hだから24÷4＝6で時速6km

・前半＝後半＝24kmとすると、前半にかかる時間＝6h、後半にかかる時間＝2h

⇒ 全体＝48kmを6＋2＝8hだから48÷8＝6で時速6km

距離が何kmであっても、前半＝時速4km、後半＝時速12kmだと全体＝時速6kmになる。

問題文に戻ると

前半＝時速12.6km、後半＝時速▢km、全体＝時速14.7km

と書いてある。

そう、前半＝後半＝21.0975kmでなくても何kmでもいいんだ。

だから、距離を21.0975kmはやめて、もっと計算が楽な数字にしてあげよう。

12.6でも14.7でも割れる数字がいい、そう、最小公倍数だ。

126と147の最小公倍数＝882（126と147は差の21で割れるよ！）だから、小数点をつけて、前半＝後半＝88.2kmにしてあげよう。

前半にかかる時間＝88.2÷12.6＝7h

全体にかかる時間＝88.2×2÷14.7＝12h

⇒ 後半にかかる時間＝12－7＝5h

できました☆

後半＝88.2kmを5hなんだから

88.2÷5＝17.64km/h

後半は時速17.64kmになるね。

僕はこの解き方がベストだと思うけど、最小公倍数が楽になる方もやってみようか。

前半＝時速12.6km、後半＝時速▢km、全体＝時速14.7km

時速12.6km：時速14.7km＝6：7、そう、÷2.1をしてあげると6と7になる。だから無理やり時速12.6kmと時速14.7kmを時速6kmと時速7kmにする。

前半＝時速6km、後半＝時速▢km、全体＝時速7km

これで▢を出してあげて、その▢に×2.1をして元に戻してあげればいいね。

6と7の最小公倍数は42だから、前半＝後半＝42kmにしてあげよう。

前半にかかる時間＝42÷6＝7h

全体にかかる時間＝42×2÷7＝12h

⇒ 後半にかかる時間＝12－7＝5h

後半＝42kmを5hだから

42÷5＝8.4km/h

÷2.1をしてたから元に戻すために×2.1をして

8.4×2.1＝17.64km/h

さっきと同じ時速17.64kmになるね。

よって、答えは17.64となる。

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消去算３。

 【 問題 】４～５年生向け

３種類のお菓子A、B、C があります。Aが3個買える金額でBは2個買えます。Aを7個、Bを11個、Cを3個買うと1100円、Aを16個、Bを6個、Cを25個買うと1650円です。Cの値段はいくらですか。

【 解答 】

順々に消去していけばどうやっても答えは出せそうだけどかなり面倒そう。逆比が有効な問題だね。では、いきましょう。

Aが3個買える金額でBは2個買えるので

A×3＝B×2

⇒ A：B＝2：3

⇒ A＝②、B＝③

そう、逆比だね。A1個の値段を②、B1個の値段を③とする。

A×  7＋B×11＋C×  3＝1100

A×16＋B×  6＋C×25＝1650

問題文のとおりに立式した、

この式にA＝②とB＝③を入れてあげる。

そうすると文字が減るんだ、◯(まる)とCだけの式になる。

A、B、Cと文字が3種類あるから、なるべく早く簡単に文字を減らせる方法を取りにいく。

⑭＋㉝＋C×3＝1100

⇒ ㊼＋C×3＝1100

㉜＋⑱＋C×25＝1650

⇒ ㊿＋C×25＝1650

この㊿＋C×25＝1650を約分して（÷25して）数字を小さくしてあげると

⇒ ②＋C×1＝66

×3してあげると

⇒ ⑥＋C×3＝198

できました☆

㊼＋C×3＝1100
⑥＋C×3＝  198

⇒ ㊶＝902

⇒ ①＝22、②＝44、③＝66

㊿＋C×25＝1650を約分して（÷25して）数字を小さくしてあげた②＋C×1＝66を使うと

②＋C×1＝66

⇒ 44＋C×1＝66

⇒ C＝22

A＝②、B＝③だから、A＝44円、B＝66円、C＝22円だね。

よって、答えは22円となる。

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日暦算４。

 【 問題 】２～３年生向け

2024年12月25日は水曜日です。では、2023年10月10日は何曜日ですか。

【 解答 】

何日前かを出してあげて、7で割り切れたら同じ曜日だね。では、いきましょう。

1年以上前だから、まず1年前が何曜日かを出してあげる。

この問題設定ではうるう年の2月29日をまたぐから注意する。うるう年の2月29日をまたぐのであれば1年前は366日前が同じ日付になって曜日は2ズレする。

366÷7＝52…2、7で割り切れたら同じ曜日の水曜日で、余り1なら火曜日、余り2なら月曜日になる、そう、何日後とは反対に戻すんだね。

うるう年をまたぐ1年前だから2ズレで水→火→月だね。

2024年12月25日（水）の366日前

＝ 2023年12月25日（月）

1年前・1年後の曜日の1ズレ、2ズレは理解して完璧に覚えて欲しい。

うるう年をまたがない1年前・1年後 ⇒ 1ズレ

うるう年をまたぐ1年前・1年後 ⇒ 2ズレ

2023年12月25日（月）から遡っていく。

何日前も何日後と同じように日数を個別に足してみようか。

もちろん12/25＝11/55＝10/86と無理やり10月にして86－10＝76日前とやってもいい。

12月 ⇒ 25日

11月 ⇒ 30日

10月 ⇒ 21日（＝31日－10日）

これらを全部足すと

25＋30＋21＝76日

2023年10月10日は2023年12月25日の76日前とわかった。

76÷7＝10…6

10週間と6日の余り、7で割り切れたら同じ曜日で月曜日なんだから、余り1なら日曜日、余り2なら土曜日、余り3なら金曜日、余り4なら木曜日、余り5なら水曜日、余り6なら火曜日だね。

よって、答えは火曜日となる。

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日暦算３。

 【 問題 】２～３年生向け

2024年12月25日は水曜日です。では、2025年4月1日は何曜日ですか。

【 解答 】

何日後かを出してあげて、7で割り切れたら同じ曜日だね。では、いきましょう。

あと何日あるかを順々に数えてあげる。

（ もちろん4/1=3/32=2/60=1/91=12/122と無理やり12月にして122－25＝97日後とやってもいい。）

12月 ⇒ 6日（＝ 31日－25日）

1月 ⇒ 31日

2月 ⇒ 28日

3月 ⇒ 31日

4月 ⇒ 1日

これらを全部足すと

6＋31＋28＋31＋1＝97日

2025年4月1日は2024年12月25日の97日後とわかった。

97÷7＝13…6

13週間と6日の余り、7で割り切れたら同じ曜日で水曜日なんだから、余り1なら木曜日、余り2なら金曜日、余り3なら土曜日、余り4なら日曜日、余り5なら月曜日、余り6なら火曜日だね。

よって、答えは火曜日となる。

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平均算２。

 【 問題 】５年生向け

K中学バスケ部で身長を調べました。1年生8人の平均は164.4cm、2年生▢人の平均は165.3cm、3年生6人の平均は171.9cm、全体の平均は166.5cmでした。▢に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

前回と全く同じだね。今回も直接には面積図・天秤図を書かないでやってみる。では、いきましょう。

全体の平均は166.5cm。これより低いのは1年生・2年生、高いのは3年生だ。

数字が分かってる3年生から攻める。

3年生はどれだけ高いのか？

平均を基準にして1人あたり171.9－166.5＝5.4cm高いから、3年生全体では5.4cm×6＝32.4cm高いことになる。

ということは、1年生・2年生全体では平均を基準にして32.4cm低いことになる。

平均とは平らに均す、低い分を高い分で均してあげるんだね。

1年生・2年生＝32.4cm低い

3年生＝32.4cm高い

1年生は数字が分かってるね。

1人あたり166.5－164.4＝2.1cm低いから、1年生全体では2.1×8＝16.8cm低い。

1年生・2年生＝32.4cm低い

1年生＝16.8cm低い

⇒ 2年生＝32.4－16.8＝15.6cm低い

できました☆

2年生は1人あたり166.5－165.3＝1.2cm低い。

2年生▢人で15.6cmだから

1.2cm×▢＝15.6cm

⇒ ▢＝13

2年生は13人だ。

平均を基準にして低いグループと高いグループに分けてあげて、そこでつり合いをとってあげる、そう、それを図示したら天秤図だね。

よって、答えは13となる。

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食塩水４。

 【 問題 】４年生向け

6.5％の食塩水510gと17％の食塩水680gを混ぜたら濃さは何％になりますか。

【 解答 】

これはさすがにそのまま計算したらしんどい。天秤図や面積図のように混ぜ合わせる量の比で考えてあげるんだね。

例えばだけど、2％200gと6％200gを混ぜたら濃度は真ん中の4％になる、当たり前だけど、2％300gと6％300gを混ぜたって濃度は真ん中の4％になる、そう、gが大事なんじゃなくて混ぜ合わせる比率（割合）が大事なんだ、1：1で混ぜ合わせるから真ん中の4％になるんだ。

この問題だと、510gと680gで混ぜたとあるから、510：680＝3：4で混ぜた。6.5％と17％を3：4で混ぜたら何％ですか？と聞いているんだ。例えば300gと400gでも510gと680gと同じ3：4なんだから同じ濃さになるね。

ここでまた大事なことなんだけど、6.5％と17％を3：4で混ぜたら、濃さは6.5％寄りになるだろうか、それとも17％寄りになるだろうか。そう、17％の方をたくさん混ぜたんだから17％寄りの濃さになるはずだ、この当たり前感覚はとても大事、6.5％と17％の真ん中より右寄りの濃さになる。天秤図を書くと下のようになる。

食塩水の量を3：4で混ぜると、濃さはたくさんの量の方に寄って、この問題で言うと6.5％と17％の間の左から4：3のところが混ぜ合わせた食塩水の濃さになる、そう、濃さは食塩水の量の逆比の位置になるんだ。

（天秤図は食塩の量のやり取りをしてるんだけど）まずはイメージを持とう、濃さはたくさんの量の方に寄る、その寄り具合は食塩水の量の逆比になる。

17％－6.5％＝10.5％

10.5％× 3/7＝4.5％

17％－4.5％＝12.5％

天秤図も面積図も慣れてしまえば小学生は上手に書くしスピードも速い、だから途中であきらめないで！

よって、答えは12.5％となる。

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平均算１。

 【 問題 】５年生向け

K中学陸上部で50m走のタイムを計りました。1年生19人の平均は8.4秒、2年生▢人の平均は7.7秒、3年生9人の平均は7.2秒、全体の平均は7.9秒でした。▢に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

食塩水や平均などの問題において面積図や天秤図を使う・使わないの判断はどうやってするのか。

ざっくり言うと不完全が2つあると面積図的・天秤図的な発想が必要になる。

たとえば、この問題で言えば、2年生は人数が分かっていないから不完全、全体も人数がわかってないから不完全、不完全が2つあるから面積図的・天秤図的な発想が必要になる。

この平均の問題を小学生が

8.4×19＋7.7×▢＋7.2×9＝7.9×(▢＋28)

とはあまりやらないと思う。もちろんこれをサクッと立式できてサクッサクッと解けるのであれば頼もしいけど、それは要求すべきではないし実際にもしていない。

食塩水の問題でも、たとえば

4％150gの食塩水に10％▢gの食塩水を加えたら5％の食塩水になりました。

のような問題では面積図的・天秤図的な発想が必要になる。

10％の食塩水はgが分かっていないから不完全、5％の食塩水もgが分かっていないから不完全、不完全が2つあるからだ。

この食塩水の問題を小学生が

150×0.04＋▢×0.1＝(150＋▢)×0.05

とはやらないだろう。

小学生は、▢＝150×1/5＝30、と暗算でやるんだ。

中学受験算数では、制約のある中で本質に迫る解き方を小学生なりに模索しているんだ。これらの思考はきっと中学高校、もちろん大学以降においても役立っていると思う。逆説的かも知れないけど、制約の中でこそ人は成長する。では、いきましょう。

ここでは、直接には面積図・天秤図を書かないでやってみる。

全体の平均は7.9秒。これより遅いのは1年生、速いのは2年生・3年生だ。

1年生はどれだけ遅いのか？

平均を基準にして1人あたり8.4－7.9＝0.5秒遅いから、1年生全体では0.5×19＝9.5秒遅いことになる。ということは、2年生・3年生全体では平均を基準にして9.5秒速いことになる。平均とは平らに均す、遅い分を速い分で均してあげるんだね。

1年生＝9.5秒遅い

2年生・3年生＝9.5秒速い

3年生は数字が分かってるね。1人あたり7.9－7.2＝0.7秒速いから、3年生全体では0.7×9＝6.3秒速い。

2年生・3年生＝9.5秒速い

3年生＝6.3秒速い

⇒ 2年生＝9.5－6.3＝3.2秒速い

できました☆

2年生は1人あたり7.9－7.7＝0.2秒速い。2年生□人で3.2秒だから

0.2秒×▢＝3.2秒

⇒ ▢＝16

2年生は16人だ。

平均を基準にして遅いグループと速いグループに分けてあげて、そこでつり合いをとってあげる、そう、それを図示したら天秤図だね。

よって、答えは16となる。

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食塩水３。

 【 問題 】４年生向け

容器Aには10％の食塩水300g、容器Bには4％の食塩水750gが入ってます。いまA、Bから同時に同じ量の食塩水を取り出して、Aから取り出した分はBに、Bから取り出し分はAに入れたところ、Aの食塩水の濃さは5％になりました。Bの食塩水の濃さは何％になりましたか。

【 解答 】

同じ＝変わらない尽くしの問題だね。同じ量を交換してるから交換前と交換後のAとBの食塩水の量は同じだし、AとBで交換してるだけだから全体の食塩の量も同じ＝変わらない。面積図や天秤図でやっても構わないけど、濃さを出すだけだし、ここでは全体の食塩の量が同じ＝変わらないに着目して解いてみるね。では、いきましょう。

交換前のAの食塩の量＝300g×10％＝30g

交換前のBの食塩の量＝750g×  4％＝30g

全体の食塩の量＝30＋30＝60g

AとBでやりとりしてるだけだから、この全体の食塩の量＝60gは変わらない。

そして、AとBの食塩水の量も交換前と交換後で変わらない。だって、同じ量を交換してるだけだからね。

食塩の量に着目すると下のようになる。

全体の食塩の量＝60g

交換後のAの食塩の量＝300g×5％＝15g

⇒ 交換後のBの食塩の量＝60－15＝45g

できました☆

交換後のBの食塩水の量は交換前と変わらず750gだから、交換後のBの濃さは

45/750 ×100＝6％

となる。面積図や天秤図を書かなくてもできたね！

よって、答えは6％となる。

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割合と比３。

 【 問題 】３年生向け

ある数を6倍しなければならないのに誤って6で割ってしまいました。正しい答えと誤った答えの差が7のとき、ある数はいくつですか。

【 解答 】

ある数＝⑥とおいて進めてみよう。では、いきます。

ある数＝⑥とすると

正しい答え＝⑥×6＝㊱

誤った答え＝⑥÷6＝①

答えの差＝㊱－①＝㉟

できました☆

この㉟が7なんだね。

㉟＝7

⇒ ①＝0.2

⇒ ある数＝⑥＝1.2

確認してみると

1.2×6＝7.2

1.2÷6＝0.2

7.2－0.2＝7

ちゃんと合ってるね！

よって、答えは1.2となる。

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日暦算２。

 【 問題 】２～３年生向け

2024年12月23日の500日前は何年何月何日ですか。

【 解答 】

うるう年の2月29日をまたがなければ365日前が同じ日付になる、うるう年の2月29日をまたぐのであれば366日前が同じ日付になる。では、いきましょう。

この問題設定ではうるう年の2月29日をまたぐから注意する。うるう年の2月29日をまたぐのであれば366日前が同じ日付になるよ。

500日は1年より長いから、1年前＝366日前を先にやってあげる。

2024年12月23日の366日前

＝ 2023年12月23日

ここはしっかり押さえておこう。

500日前のうち366日前をやったから、残りは500日－366日＝134日だ、そう、つまり

2023年12月23日の134日前

を計算してあげればいい。

ここでは単純に134日を引いてあげる。

12月23日－134日は引けない、だから12月23日を11月から起算して無理やり（23日に11月の30日を足して）11月53日にしてあげる。

11月53日－134日はまだ引けない、だから11月53日を10月から起算して無理やり（53日に10月の31日を足して）10月84日にしてあげる。

10月84日－134日はまだ引けない、だから10月84日を9月から起算して無理やり（84日に9月の30日を足して）9月114日にしてあげる。

9月114日－134日はまだ引けない、だから9月114日を8月から起算して無理やり（114日に8月の31日を足して）8月145日にしてあげる。

8月145日－134日＝8月11日、引けた！ずらさないように確実に解こう！

2023年12月23日－134日

＝ 2023年11月53日－134日

＝ 2023年10月84日－134日

＝ 2023年9月114日－134日

＝ 2023年8月145日－134日

＝ 2023年8月11日

よって、答えは2023年8月11日となる。

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日暦算１。

 【 問題 】２～３年生向け

2024年12月23日の500日後は何年何月何日ですか。

【 解答 】

うるう年の2月29日をまたがなければ365日後は同じ日付になる。では、いきましょう。

500日は1年より長いから、1年後＝365日後を先にやってあげる。

2024年12月23日の365日後

＝ 2025年12月23日

ここはしっかり押さえておこう。

500日後のうち365日後をやったから、残りは500日－365日＝135日だ、そう、つまり

2025年12月23日の135日後

を計算してあげればいい。

ここでは単純に12月23日に135日を足して12月158日にする。

でも12月158日なんてないから12月を終わらせて（158日から12月の31日を引いて）1月127日にする。

でも1月127日なんてないから1月を終わらせて（127日から1月の31日を引いて）2月96日にする。

でも2月96日なんてないから2月を終わらせて（96日から2月の28日を引いて）3月68日にする。

でも3月68日なんてないから3月を終わらせて（68日から3月の31日を引いて）4月37日にする。

でも4月37日なんてないから4月を終わらせて（37日から4月の30日を引いて）5月7日にする。できた！5月7日はあるね！絶対にずらさないようにしよう！

2025年12月23日＋135日

＝ 2025年12月158日

＝ 2026年1月127日

＝ 2026年2月96日

＝ 2026年3月68日

＝ 2026年4月37日

＝ 2026年5月7日

よって、答えは2026年5月7日となる。

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倍数算３。

 【 問題 】４年生向け

A君とB君が同じ値段のノートを買います。1冊ずつ買うとA君とB君の残金の比は7：4になり、2冊ずつ買うと2：1になります。では、4冊ずつ買うとA君とB君の残金の比はいくつなりますか。

【 解答 】

倍数算は変わらないものがあるから、その変わらないものに着目してそろえてあげるんだ。では、いきましょう。

1冊ずつ買っても2冊ずつ買っても4冊ずつ買っても同じものを買ってるんだから、A君とB君の差はいつも変わらないね。差一定の倍数算だ。

1冊ずつ買ったときの残金の比と差

⇒ 7：4　差＝3

2冊ずつ買ったときの残金の比と差

⇒ 2：1　差＝1

この差の3と1は同じなんだからそろえてあげる、そう、最小公倍数の3にする。差＝1の方(2：1の方)を×3してあげるんだね。

1冊ずつ買ったときの残金の比と差

⇒ 7：4　差＝3

2冊ずつ買ったときの残金の比と差

⇒ 6：3　差＝3

きれいにそろった。

ここで、1冊ずつ買ったときの残金を⑦と④、2冊ずつ買ったときの残金を⑥と③にしてあげよう。

1冊ずつ買ったときの残金

⇒ A君＝⑦、B君＝④

2冊ずつ買ったときの残金

⇒ A君＝⑥、B君＝③

できました☆

このA君の⑦ー⑥＝①、B君の④－③＝①、この①がノート1冊の値段だね。2冊ずつ買ったときの残金がA君＝⑥、B君＝③だから、ここからもう2冊＝②を買うと

A君＝⑥－②＝④

B君＝③－②＝①

になる。この④と①が4冊ずつ買った時の残金だから、答えの残金の比は4：1になる。このときもちゃんと2人の差は3になってるね！

ちなみに、2人の初めの所持金の比は、1冊ずつ買ったときの残金（A君＝⑦、B君＝④）にノート1冊分の①を足してあげればいいから

A君＝⑦＋①＝⑧

B君＝④＋①＝⑤

になって、A：B＝8：5になるんだね。

このときもちゃんと2人の差は3になってるね！当たり前を確認しよう！

よって、答えは4：1となる。

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過不足算６。

 【 問題 】３年生向け

ボールをいくつかの箱に入れていきます。1箱に17個ずつ入れると5個余り、18個ずつ入れていくと最後の1箱には8個が入ります。ボールは何個ありますか。

【 解答 】

過不足算は全体の差を個別の差で割ればいいから、どの子も比較的上手に解けるようになる。では、いきましょう。

ボ　17 17 ... 17 17　＋5

ボ　18 18 ... 18   8

最後の8個がそろってないから、無理やり18個にしてあげる。

そうすると、あと10個のボールを最後の箱に入れないといけないのだけど、その10個はないんだ。つまり、全部の箱に18個ずつボールを入れようとすると10個足りないてことだね。

ボ　17 17 ... 17 17　＋  5

ボ　18 18 ... 18 18　－10

上の図を見て分かることがある。1箱あたりボールを1個ずつ増やすには余ってた5個では足りなくて、さらにあと10個がいる、そう、つまり、1箱あたりボールを1個ずつ増やすには15個（＝5＋10）が必要なんだ。

できました☆

箱の個数は

15÷1＝15箱

（全体の差を1箱あたりの差で割る）

箱の個数が15箱と分かった。ボールの個数は

ボ　17 17 ... 17 17　＋5

ボ　18 18 ... 18   8

だから

17×15＋5＝260個

18×14＋8＝260個

どちらでやっても260個になって数字が合うね！

よって、答えは260個となる。

～～～～～～～～～～～～～～

そもそもなんでこんな特殊な解き方するの？？だって

17×▢＋5＝18×▢－10

⇒ ▢＝15

で解けますよね？めんどくないですか？

そうなんだ、問題を見たときに難なく楽に上記の式が立てられるなら、それで何の支障もないしそっちの方がいいのかなとも思う。でも、多くの小学生にとってそれは困難なんだ。

小学生が自由自在に▢を操って立式するのは簡単なことではなくて、かなりパターン化した上での提示となる（▢を駆使して解くとしたら、逆に、それがベスト解法なんだと思う）。過不足算の場合、▢を操って解くよりは

17 17 ... 17 17　＋  5

18 18 ... 18 18　－10

のように書いて、全体の差を個別の差で割るとした方が過不足算を体得しやすい。

過不足算は「～個ずつ、～枚ずつ」みたいに表現も分かりやすいので、あ！過不足算だ！と気づきやすい。それに小学生が慣れたらこの程度は立式不要でほとんどの子は暗算でいけるようになるしね。

中高生みたいに▢を操るのが難しいから、受験算数では◯◯算と名前を付けて分類して、各々に適った解き方を提示しているんだ。

▢を操れるならそれはそれで最高だし、どんな解き方であれ解ければ勝ちなのだから、あまり神経質にならず、ただ一貫性だけは絶対にもって、その子その子で臨機応変に対応していこう。

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過不足算５。

 【 問題 】４年生向け

ある教室で子どもたちに原こう用紙を配ります。小学生の3人には2枚ずつ、中学生の4人には3枚ずつ、高校生の□人には5枚ずつ配ると3枚足りません。配り方を変えて、全員に4枚ずつ配ると4枚余ります。□にあてはまる数字はいくつですか。

【 解答 】

2枚ずつとか3枚ずつとか5枚ずつとか凸凹だから、ここをそろえてあげる。高校生の人数がわかってないから「小学生の3人には2枚ずつ、中学生の4人には3枚ずつ」の部分を無理やり高校生の5枚ずつにそろえて、全員に5枚ずつ配ったことにしてあげるんだ。では、いきましょう。

2 2 2 3 3 3 3 5 5 ... 5　－3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 ... 4　＋4

下の4枚ずつはいいんだ、そろってるから。上の2と3を無理やり5にしてあげる、つまり、配る枚数を2枚→5枚、3枚→5枚にしてあげるんだ。小学生、中学生に配る枚数を増やすとどうなるか？すでに3枚足りてないから、、そう、足りてない枚数がさらに増えるね。

2枚→5枚の3枚増やすを3人だから3×3＝9枚、3枚→5枚の2枚増やすを4人だから2×4＝8枚、この9枚と8枚の計17枚が増える。配る枚数が17枚増えると、足りない枚数も3枚からさらに17枚増える、そう、3＋17＝20枚足りなくなる。

凸凹の上の部分を5でそろえてあげると

5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... 5　－20

4 4 4 4 4 4 4 4 4 ... 4　＋  4

普通の過不足算になった（人数の過不足算は全体の差を1人あたりの差で割れば人数が出るけど、下でくどくど説明するね）。

上の図を見て分かることがある。配る枚数を1人あたり5枚→4枚に1枚ずつ減らすと20枚足りなかったのが4枚余るようになる、そう、つまり、1人あたり1枚ずつ減らすと全体で24枚(＝20＋4)配る枚数が減るんだ。

24÷1＝24人

（全体の差を1人あたりの差で割る）

これが全員の人数だから、6年生の人数は、24－(3＋4)＝17人、になるね。

よって、答えは17となる。

ちなみに原こう用紙の枚数は

2 2 2 3 3 3 3 5 5 ... 5　－3

4 4 4 4 4 4 4 4 4 ... 4　＋4

だから

(2×3＋3×4＋5×17)－3＝100枚

4×24＋4＝100枚

でちゃんと合うね！

～～～～～～～～～～～～～～

そもそもなんでこんな特殊な解き方するの？？だって

6＋12＋5×▢－3＝12＋16＋4×▢＋4

⇒ 15＋5×▢＝32＋4×▢

⇒ ▢＝17

で解けますよね？めんどくないですか？

そうなんだ、問題を見たときに難なく楽に上記の式が立てられるなら、それで何の支障もないしそっちの方がいいのかなとも思う。でも、多くの小学生にとってそれは困難なんだ。

小学生が自由自在に▢を操って立式するのは簡単なことではなくて、かなりパターン化した上での提示となる（▢を駆使して解くとしたら、逆に、それがベスト解法なんだと思う）。過不足算の場合、▢を操って解くよりは

5 5 5 5 5 5 5 5 5 ... 5　－20

4 4 4 4 4 4 4 4 4 ... 4　＋  4

のように書いて、全体の差を個別の差で割るとした方が過不足算を体得しやすい。

過不足算は「～個ずつ、～枚ずつ」みたいに表現も分かりやすいので、あ！過不足算だ！と気づきやすい。それに小学生が慣れたらこの程度は立式不要でほとんどの子は暗算でいけるようになるしね。

中高生みたいに▢を操るのが難しいから、受験算数では◯◯算と名前を付けて分類して、各々に適った解き方を提示しているんだ。

▢を操れるならそれはそれで最高だし、どんな解き方であれ解ければ勝ちなのだから、あまり神経質にならず、ただ一貫性だけは絶対にもって、その子その子で臨機応変に対応していこう。

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過不足算４。

 【 問題 】３年生向け

サッカー同好会でサッカーボールを2個買います。会員1人につき300円ずつ集めると1700円足りず、350円ずつ集めると400円余ります。サッカーボール1個の値段はいくらですか。

【解答 】

人数の過不足算は全体の差を1人あたりの差で割れば人数が出るので、ちょっとやればすぐに慣れてしまうと思う。では、いきましょう。

ボ×2　300 300 ... 300　＋1700

ボ×2　350 350 ... 350　－  400

300円ずつ集めると1700円足りないは＋1700にしてある。足りないということは集めた金額にさらに上乗せしないと買えないわけだから＋1700にしてあげるんだ。

350円ずつ集めると400円余る＝400円集め過ぎたので－400にしてある。集め過ぎたということはボールはそんなに高くないわけだから、集め過ぎた金額から引いてあげるんだ。

上の図で分かることがある。

1人あたり50円ずつ多く集めると、1700円足りなかったのが400円余る、そう、1人あたり50円ずつ多く集めると2100円(＝1700＋400)多く集まるんだ。

できました☆

同好会の会員の人数は

2100÷50＝42人

（全体の差を1人あたりの差で割る）

となる。サッカーボール2個の値段は

300×42＋1700＝14300円

350×42－  400＝14300円

14300円がサッカーボール2個の値段なんだから、サッカーボール1個の値段は14300÷2＝7150円だね。

よって、答えは7150円となる。

～～～～～～～～～～～～～～

そもそもなんでこんな特殊な解き方するの？？だって

300×▢＋1700＝350×▢－400

⇒ ▢＝42

で解けますよね？めんどくないですか？

そうなんだ、問題を見たときに難なく楽に上記の式が立てられるなら、それで何の支障もないしそっちの方がいいのかなとも思う。でも、多くの小学生にとってそれは困難なんだ。

小学生が自由自在に▢を操って立式するのは簡単なことではなくて、かなりパターン化した上での提示となる（▢を駆使して解くとしたら、逆に、それがベスト解法なんだと思う）。過不足算の場合、▢を操って解くよりは

300 300 ... 300　＋1700

350 350 ... 350　－  400

のように書いて、全体の差を個別の差で割るとした方が過不足算を体得しやすい。

過不足算は「～個ずつ、～枚ずつ」みたいに表現も分かりやすいので、あ！過不足算だ！と気づきやすい。それに小学生が慣れたらこの程度は立式不要でほとんどの子は暗算でいけるようになるしね。

中高生みたいに▢を操るのが難しいから、受験算数では◯◯算と名前を付けて分類して、各々に適った解き方を提示しているんだ。

▢を操れるならそれはそれで最高だし、どんな解き方であれ解ければ勝ちなのだから、あまり神経質にならず、ただ一貫性だけは絶対にもって、その子その子で臨機応変に対応していこう。

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過不足算３。

 【 問題 】４～５年生向け

鉛筆の本数はボールペンの本数の2.5倍です。生徒にボールペンを2本ずつ配ると8本余り、鉛筆を6本ずつ配ると10本足りません。ボールペンは何本ありますか。

【 解答 】

過不足算は難しくなると立式も難しくなるから、小学生らしく解くのが一番良いと思う。では、いきましょう。

ボ＝②本　2 2 ... 2　＋  8

鉛＝⑤本　6 6 ... 6　－10

図を書くと上のような感じになる。鉛筆はボールペンの2.5倍だからボールペンを②本としてあげたんだ、鉛筆は②×2.5＝⑤本だね。また、余る方は＋を書いてあげて、反対に足りない方は－を書いてあげる。

過不足算では配る物の個数が違う場合は同じ個数に無理やりそろえてあげる、そう、最小公倍数で無理やりそろえてあげるんだ。②と⑤の最小公倍数は⑩だから、それぞれに×2と×5をする。

ボ＝⑩本　10 10 ... 10　＋40

鉛＝⑩本　12 12 ... 12　－20

ボールペンは全部に×5、鉛筆は全部に×2をする。ボールペンで言えば、ボールペンの本数を5倍にしたんだから、配る本数も余る本数も5倍にするんだ。

うん、普通の過不足算になったね（人数の過不足算は全体の差を1人あたりの差で割れば人数が出るけど、下でくどくど説明するね）。

上の図を見て分かることがある。

鉛筆はボールペンより2本ずつ多く配ったから、40本余ってたのが20本足りなくなったんだ。つまり、1人あたり2本ずつ多く配るためには、余ってた40本では足りなくて、さらに20本が必要ということになる。そう、1人あたり2本ずつ多く配るためには60本(＝40＋20)が必要なんだ。

できました☆

1人あたり2本ずつ多く配るために60本が必要なんだから、生徒の人数は

60÷2＝30人

（全体の差を1人あたりの差で割る）

生徒の人数が30人と分かった。ボールペンの数と鉛筆の数を確認すると

ボ　2 2 ... 2　＋  8

鉛　6 6 ... 6　－10

だから

ボ＝2×30＋8＝68本

鉛＝6×30－10＝170本

になって、鉛筆はボールペンの2.5倍にちゃんとなってるね！

よって、答えは68本となる。

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