【 問題 】４～５年生向け
FJとGIは平行、KHとICは平行です。
正方形ABCDの面積はEJ、FJ、GI、KHによって5等分されています。
DJ＝1.5cm、EF＝6cmのとき、正方形ABCDの面積は何㎠ですか。また、KHの長さは何cmですか。
【 解答 】
4年生や5年生の毎週のテストや公開模試は順位や偏差値を測るためのものではない。テスト慣れを図ったり、弱点を把握したり、手応えを確認するためにするものだ。合格を見据えて歩一歩と確かな歩みで進んでいこう。では、解説します。
EF＝6cmがわかってるから、6cm×5× 1/2＝15cmと一辺の長さはすぐに出るのだけど、ここでは順々に全部の長さを出してみる。練習なのに大人が知ってる最短の解き方をやってもほとんど無意味だからね。
EF＝6cm
AE＋DJ＝6cm
⇒ AE＝4.5cm
FG＋JI＝6cm
⇒ FG＝JI＝3cm
GB＋IC＝12cm（面積2個分だから6cm×2）
高さが等しいに着目したんだね、ここまでは目で追うこと。
GBとICを、ここではあえて和差算で出してみる。
AG＝AE＋EF＋FG＝4.5＋6＋3＝13.5cm
DI＝DJ＋JI＝1.5＋3＝4.5cm
⇒ IC－GB＝13.5－4.5＝9cm
できました☆
GBとICの長さの和は12cm、差は9cm
⇒ GB＋IC＝12cm、 IC－GB＝9cm
⇒ GB＝1.5cm、IC＝10.5cm
正方形の一辺
＝ AG＋GB
＝ 13.5＋1.5＝15cm
正方形の一辺＝15cm
⇒ 正方形の面積＝15×15＝225㎠
続いて、KHの長さはどうするか。
台形GBHKの面積は出せる、225㎠× 1/5＝45㎠だ。
でも、KHもBHも長さがわかっていない。
(1.5＋KH) × BH × 1/2 ＝ 45㎠
これではKHもBHも出せない。どうするか。
ここで鉄則だ。
鉄則９．
台形の上底と下底の長さ＋分けられた2つの台形の面積比が出てる
⇒ 台形の外側に補助線を引いて三角形の相似を作る
今回の場合でいえば、上底＝1.5cm、下底＝10.5cm、分けられた2つの台形の面積比＝1：1、のことだね。
補助線を引くと下のような感じになる。
IGとCBを伸ばして、交わった点をLとしたんだ。
△ILCと△GLBは相似だね。
相似比がわかれば面積比がわかる。
IC：GB＝10.5cm：1.5cm＝7：1
⇒ △ILCの面積：△GLBの面積＝49：1
⇒ 台形GBCIの面積＝49－1＝48
⇒ 台形GBHKの面積＝台形KHCIの面積＝48× 1/2＝24
もうわかったね。
今度は、△KLHと△GLBの相似を見て、面積比から相似比を出してあげる。
△KLHの面積：△GLBの面積＝24＋1：1＝25：1
⇒ KH：GB＝5：1
⇒ KH＝GB×5＝1.5cm×5＝7.5cm
BHとHCの長さも出してみよう。
CL：BL＝7：1
HL：BL＝5：1
⇒ LB：BH：HC＝1：4：2
⇒ BH：HC＝2：1
⇒ BH＝15× 2/3=10cm、HC＝15× 1/3=5cm
どの図形も面積が225㎠× 1/5＝45㎠になってるか確認するんだよ。
よって、答えは正方形ABCDの面積＝225㎠、KH＝7.5cmとなる。
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