速さ４。

 【 問題 】４年生向け

A君とB君とC君の3人がそれぞれ9時、9時10分、9時25分に学校を出発して市役所に歩いて向かいました。C君は9時50分にA君に追いつき、B君とC君は10時に市役所に着きました。

(１) A君は何時に市役所に着きましたか。

(２) B君は何時にA君に追いつきましたか。

【 解答 】

線分図を書いて解いてもいいけど書かなくても大丈夫そうだから、今回は線分図なしでやってみます。想像を逞しく、5年生までには暗算でやれるようにね。では、いきましょう。

(１)

C君はA君に9時50分に追いついた、それまでにA君は50分、C君は25分を歩いてるんだ。同じ場所からスタートして、A君は50分、C君は25分を歩いて追いつき追いつかれたんだ。そう、つまり、同じ距離を進むのにA君は50分、C君は25分かかったんだね。式にすると

A×50分＝C×25分

⇒ A君の速さ：C君の速さ＝1：2

となる。そう、逆比だね、A君は遅いから50分かかった、C君は速いから25分かかった、時間の逆比が速さの比だ。

できました☆

C君は学校から市役所まで35分かかってる、じゃあ、A君は何分かかるのか？そう、速さの比が1：2なんだからかかる時間の比は2：1、C君の2倍かかるんだ。

35分×2＝70分

Ａ君は学校から市役所まで70分かかるから

9時＋70分＝10時10分

に市役所に着く。

よって、答えは10時10分となる。

もちろん、C君がA君に追いついた地点から考えてもいい。こっちの方が少し楽かな、どっちも良いね。C君がA君に追いつきました、そこからC君は10分で市役所に着いた。C君が10分かかる距離をA君は10分×2＝20分かかる。

9時50分＋20分＝10時10分

よって、答えは10時10分となる。

(２)

(1)と同様に、Ｂ君とＣ君の速さの比を出してみよう。

学校から市役所までの同じ距離を、Ｂ君は50分、Ｃ君は35分かかった。式にすると

Ｂ×50分＝Ｃ×35分

⇒ Ｂ君の速さ：Ｃ君の速さ＝7：10

となる。そう、さっきと同じ逆比だね。これでＡ君とＢ君とＣ君の速さの比が分かる。

Ａ：Ｃ＝1：2

Ｂ：Ｃ＝7：10

⇒ Ａ：Ｂ：Ｃ＝5：7：10

そう、連比だね。Ｃ君の速さの2と10を、2を×5して10に揃えてあげたんだね。

Ａ君の速さとＢ君の速さの比が5：7と分かった。

速さの比が5：7ということは、同じ距離を進むのにかかる時間の比は7：5だね、逆比だ。

できました☆

A君がB君に追いつかれるまでに、A君はB君より10分たくさん歩いてる、そう、つまり、同じ距離（学校から追いつかれた地点までの距離）を進むのにA君の方が10分多くかかってるんだ。

A君のかかる時間＝⑦

B君のかかる時間＝⑤

とすると、その差の②が10分なんだ。

②＝10分

⇒ ⑦＝35分、⑤＝25分

A君は9時に出発して35分でB君に追いつかれる、B君は9時10分に出発して25分でA君に追いつく。

9時＋35分＝9時10分＋25分＝9時35分

に追いつき追いつかれるんだ。

よって、答えは9時35分となる。

もう1つ、別の解き方もしてみようか。何故かと言うと、線分図を書くときにA君を10分の距離だけ先に進めて書く場合がある。A君が先に10分進んだ距離をB君が追いかける、そう、追いかけ算だね。

ここで

Ａ君の分速＝⑤

Ｂ君の分速＝⑦

とおいてみよう。

Ａ君は9時、Ｂ君は9時10分に出発してるから、Ａ君の方が10分だけ先に進んでる。Ａ君の分速を⑤としたから

⑤×10分＝㊿

9時10分の時点でＡ君は㊿の距離だけ先に進んでる。この㊿の距離をＢ君が分速⑦の速さで追いかけるんだ。

できました☆

Ａ君の分速は⑤、Ｂ君の分速は⑦なんだから、1分で②の距離を縮める。㊿の距離を縮める＝追いつくためには

㊿÷②＝25分

かかる。Ｂ君はＡ君に25分で追いつくんだから

9時10分＋25分＝9時35分

9時35分にA君とB君は同じ地点にいる。A君が35分かかった距離を、B君は25分かかったんだ。かかった時間の比は35分：25分＝7：5で、速さの比5：7の逆比になってるね！

よって、答えは9時35分となる。

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消去算。

 【 問題 】４年生向け

100個のりんごを2個入り箱720円と3個入り箱1030円で売ったところ、35100円になりました。3個入り箱で何個のりんごを売りましたか。

【 解答 】

つるかめ算や天秤図でもいいんだけど、ここでは問題文に忠実に消去算でやってみる。では、いきましょう。

2個入り箱＝□箱

3個入り箱＝△箱

として立式してみよう。そう、個数と金額で式を2つ作るんだ。

□×2＋△×3＝100（個数の式）

□×720＋△×1030＝35100（金額の式）

できました☆

3個入り箱＝△箱を出したいのだから、上の式を×360して□を消してあげる。

□×720＋△×1080＝36000

□×720＋△×1030＝35100

⇒ △×50＝900

⇒ △＝18

3個入り箱＝18箱だから、3個入り箱のりんごの個数は

18×3＝54個

よって、答えは54個となる。

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和差算。

 【 問題 】３年生向け

A君、B君、C君、D君、E君、F君の6人がおはじきを分けた。分けたあとの個数は多い方からA君、B君、C君、D君、E君、F君の順になり、同じ個数の人はいなかった。A君とB君とC君のおはじきの合計は76個で、D君とE君とF君のおはじきの合計は55個であった。また、D君はE君よりも4個多く、E君はF君よりも6個多かった。次の問に答えよ。

(１) D君のおはじきの個数を求めよ。

(２) C君のおはじきの個数を求めよ。

(３) A君のおはじきの個数を求めよ。

（2012年 早稲田佐賀中学校 大問2）

【 解答 】

問題文が少し長いけど、3年生とか4年生にやらせたい問題だね。長めの問題は比較的易しい問題を使って少しでも早めに慣れておこう。では、いきましょう。

D君、E君、F君についての条件が多いから、そこから攻めよう。まとめると次のような感じになる。

D君＝①＋10

E君＝①＋6

F君＝①

D君、E君、F君の中ではF君が一番少ないから、F君の個数を①とした。この3人の合計が55個とある。

①＋（①＋6）＋（①＋10）＝55

⇒ ③＋16＝55

⇒ ③＝39

⇒ ①＝13

①＝13個だから、D君、E君、F君の個数は

D君＝23個

E君＝19個

F君＝13個

となる。

続いて、A君、B君、C君を攻めるんだけど条件が少ない。

A＋B＋C＝76個

A>B>C>D＝23個

この2つの条件しかない（ちなみに、いわゆる条件不足の問題は当てはめをせざるを得ない、これは頭の片隅に入れておこう）。

でも、たとえば、C君が30個とかって絶対にないよね？30×3＝90個になって76個を超えちゃうよね。だから、C君を少ない数から当てはめてみよう。

D君＝23個だから、C君＝24個で試してみよう。

A＋B＋C＝76個

C＝24個

⇒ A＋B＝52個

ここまできたらもう当てはめでいい、、、実は先生はいま、和が偶数だから差も偶数だね！とか書こうと思ったけど（実際、書いたね💧）、そんな解き方をテストのときにするわけないよね(>_<)、ごめんよ、間違うとこだった(>_<)

順々に当てはめしてみよう。

C＝24個

A＋B＝52個

⇒ Ｂ＝25個のときＡ＝27個、オッケーだね！

C＝24個

A＋B＝52個

⇒ Ｂ＝26個のときＡ＝26個、ダメだね！

Ａ君＝27個、Ｂ君＝25個、Ｃ君＝24個で条件を満たした。一応、念のため、Ｃ＝25個も試してみようか。

A＋B＋C＝76個

C＝25個

⇒ A＋B＝51個

⇒ Ｂ＝26個のときＡ＝25個、ダメだね！

もうないね👍

よって、答えは(1) 23個、(2) 24個、(3) 27個、となる。

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割合と比２。

 【 問題 】４～５年生向け

ある中学校の全校生徒の男子と女子の人数の比は5：4です。また、通学に電車を利用している生徒と利用していない生徒の人数の比は10：17です。通学に電車を利用している男子の人数が180人で、通学に電車を利用していない女子の人数が240人のとき、全校生徒は何人ですか。

（2023 豊島岡女子学園中学校 第1回 大問2の3）

【 解答 】

算数は、同じ（＝等しい）、に着目するのが大事なんだけど、ここでも同じ（＝等しい）がある。男子と女子の人数を合わせれば全校生徒だし、電車を利用している生徒としていない生徒を合わせれば全校生徒だ、そう、5＋4と10＋17は同じ（＝等しい）、算数に必要なのは当たり前感覚、肩肘張らずに解いていこう。

5＋4＝9、10＋17＝27、この2つは等しいのだから、5＋4＝9を×3して揃えてあげる。すると

男子＝⑮

女子＝⑫

電車を利用している＝⑩

電車を利用していない＝⑰

とおけるね。全校生徒は、⑮＋⑫＝⑩＋⑰＝㉗、になる。

もうほぼできてしまった。

まとめると下のような感じになる。

〇は電車を利用している生徒＝⑩

×は電車を利用していない生徒＝⑰

女子の×＝240人、全体の×＝⑰

⇒ 男子の×＝⑰－240人

男子の〇＝180人、全体の〇＝⑩

⇒ 女子の〇＝⑩－180人

できました☆

男子に着目すると

⑮＝180＋⑰－240

⇒ ⑮＝⑰－60

⇒ ②＝60

⇒ ①＝30

女子に着目すると

⑫＝⑩－180＋240

⇒ ⑫＝⑩＋60

⇒ ②＝60

⇒ ①＝30

どちらでやっても、①＝30人、になるね。全校生徒は㉗だから

①＝30人

⇒ ㉗＝810人

よって、答えは810人となる。

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