【 問題 】４年生向け
四角形ABCDはADとBCが平行の台形です。
点Eと点Fは台形ABCDの辺上にあり、AFとEC、DEとFBはそれぞれ平行で、AFとDEの交点がG、ECとFBの交点がHです。
AE＝26㎝、EB＝39㎝、CF＝50㎝、FD＝25㎝、台形ABCDの周りの長さ＝280㎝です。
(１) ADの長さは何㎝ですか。
(２) 四角形EHFGの面積は台形ABCDの面積の何倍ですか。
【 解答 】
平行だらけの基本問題、相似の感覚をつかむには丁度良いね。では、いきます。
（１）
ADの長さを出しなさいとあって、ADはBCと平行だから、ADとBCを絡めて相似を作ってあげる。ここでは、外側に展開してみる。
△ADEと△BIEは相似、AE：BE＝26㎝：39㎝＝2：3
⇒ AD：BI＝2：3
△DICと△FBCは相似、DF：FC＝1：2
⇒ IB：BC＝1：2
AD：BI＝2：3
IB：BC＝1：2
⇒ AD：BC＝1：3
できました☆
AD＋AB＋BC＋DC＝280㎝
⇒ AD＋65㎝＋BC＋75㎝＝280㎝
⇒ AD＋BC＝140㎝
⇒ AD ＝ 140㎝ × 1/4 ＝35㎝
平行線を見たら相似を疑う（ Read more » cf.面積2 ）。
※ 類題 ⇒（ Read more » cf.面積7 ）
よって、答えは35㎝となる。
（２）
この問題、(2)から解いても良いね。
補助線を引かなくても台形の中に相似の三角形がたくさんあるから、(1)のように外側に展開する必要がない。
まず長さの比を書いていこうか。
△ABFとEBHは相似、AE：EB＝2：3
⇒ FH：HB＝2：3
四角形EHFGは平行四辺形
⇒ FH＝GE
△DECと△FHCは相似、DC：FC＝3：2
⇒ DE：FH＝3：2
FH：HB＝2：3
FH＝GE
DE：FH＝3：2
⇒ DG：GE：FH：HB＝1：2：2：3
これで面積比の全部が出せる。
△ABFとEBHは相似、AE：EB＝2：3
⇒ △ABFの面積＝㉕、△EBHの面積＝⑨
△ABFの面積＝㉕
△EBHの面積＝⑨
台形AEHFの面積＝⑯
ここから始めてみる。
△EBHの面積：平行四辺形EHFGの面積
＝ 3：4
⇒ △EBHの面積＝⑨、平行四辺形EHFGの面積＝⑫
台形AEHFの面積＝⑯、平行四辺形EHFGの面積＝⑫
⇒ △AEGの面積＝④
平行四辺形EHFGの面積：△DGFの面積
＝ 4：1
⇒ 平行四辺形EHFGの面積＝⑫、△DGFの面積＝③
△AEGの面積：△AGDの面積
＝ 2：1
⇒ △AEGの面積＝④、△AGDの面積＝②
△DECの面積：△FHCの面積
＝ 9：4
⇒ 台形EHFDの面積：△FHCの面積＝5：4
⇒ 台形EHFDの面積＝⑮、△FHCの面積＝⑫
△FHCの面積：△HBCの面積＝2：3
⇒ △FHCの面積＝⑫、△HBCの面積＝⑱
できました☆
台形ABCDの面積
＝2＋4＋3＋12＋9＋12＋18＝60
平行四辺形EHFGの面積
＝12
⇒ 12＝60×▢
⇒ ▢＝1/5
もちろん、AFとECの長さから攻めてもいいね！
ちなみに、△ADGと△CBHは相似で、相似比は1：3、面積比は1：9だね。
また、△AGEと△EHBも相似、△DGFと△FHCも相似、確認に確認を重ねよう！
よって、答えは1/5倍となる。
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