平均算３。

 【 問題 】４～５年生向け

Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人が算数のテストを受けました。Bさんの点数は80点で4人の中で最も高い点数でした。BさんとCさんの合計点はＤさんの点数の2倍で、CさんとDさんの合計点はAさんの点数の2倍でした。また、AさんとCさんの点数の差は4点でした。Cさんの点数は何点ですか。

【 解答 】

ちょっと式にしてみようか。問題文を忠実に式にしてあげると

B＝80（最高点）

B＋C＝D×2

C＋D＝A×2

A－C＝4またはC－A＝4

うーん、式をいじれば解けはするけど違うよね、それではただ式を無味乾燥な状態で解いてるだけになってしまう。

BさんとCさんの合計点はDさんの点数の2倍、これの意味を捉えるんだ。

BさんとCさんの合計点はDさんの点数の2倍＝DさんはBさんとCさんの平均＝DさんはBさんとCさんの点数のちょうど真ん中の点数なんだ。Bさんは最高点とあるから、ここを見るだけでもB>D>Cの並びが分かる、もちろん、B－D＝D－Cだ。

同じように、CさんとDさんの合計点はAさんの点数の2倍＝AさんはCさんとDさんの平均＝AさんはCさんとDさんの点数のちょうど真ん中の点数なんだ、さっきのB>D>Cと合わせると、B>D>A>Cとなる。もちろん、D－A＝A－C＝4点だ。

ほぼ式なしでできそうだね！図示すると下のようになる。

できました☆

Bさん＝80点

Dさん＝80－8＝72点

Aさん＝72－4＝68点

Cさん＝68－4＝64点

よって、答えは64点となる。

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速さ５。

 【 問題 】４～５年生向け

スタートからゴールまで42.195kmを走ります。前半の21.0975kmを時速12.6km、後半の21.0975kmを時速□kmで走ると、42.195kmを時速14.7kmで走るのと同じタイムになります。□に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

いわゆる調和平均の問題、理屈は分かっていても数字に強くないと簡単にはいかないと思う。では、いきましょう。

たとえば、前半を時速4km、後半を時速12kmだと全体を時速6kmと同じことになる。距離は関係ないんだ。何kmであろうと、前半＝時速4km、後半＝時速12kmだと全体＝時速6kmになる。

検証しよう。

＜ 前半＝時速4km、後半＝時速12kmの場合 ＞

・前半＝後半＝12kmとすると、前半にかかる時間＝3h、後半にかかる時間＝1h

⇒ 全体＝24kmを3＋1＝4hだから24÷4＝6で時速6km

・前半＝後半＝24kmとすると、前半にかかる時間＝6h、後半にかかる時間＝2h

⇒ 全体＝48kmを6＋2＝8hだから48÷8＝6で時速6km

距離が何kmであっても、前半＝時速4km、後半＝時速12kmだと全体＝時速6kmになる。

問題文に戻ると

前半＝時速12.6km、後半＝時速□km、全体＝時速14.7km

と書いてある。そう、前半＝後半＝21.0975kmでなくても何kmでもいいんだ。だから、距離を21.0975kmはやめて、もっと計算が楽な数字にしてあげよう。

12.6でも14.7でも割れる数字がいい、そう、最小公倍数だ。

126と147の最小公倍数＝882（126と147は差の21で割れるよ！）だから、小数点をつけて、前半＝後半＝88.2kmにしてあげよう。

前半にかかる時間＝88.2÷12.6＝7h

全体にかかる時間＝88.2×2÷14.7＝12h

⇒ 後半にかかる時間＝12－7＝5h

できました☆

後半＝88.2kmを5hなんだから

88.2÷5＝17.64km/h

後半は時速17.64kmになるね。

僕はこの解き方がベストだと思うけど、最小公倍数が楽になる方もやってみようか。

前半＝時速12.6km、後半＝時速□km、全体＝時速14.7km

時速12.6km：時速14.7km＝6：7、そう、÷2.1をしてあげると6と7になる。だから無理やり時速12.6kmと時速14.7kmを時速6kmと時速7kmにする。

前半＝時速6km、後半＝時速□km、全体＝時速7km

これで□を出してあげて、その□に×2.1をして元に戻してあげればいいね。

6と7の最小公倍数は42だから、前半＝後半＝42kmにしてあげよう。

前半にかかる時間＝42÷6＝7h

全体にかかる時間＝42×2÷7＝12h

⇒ 後半にかかる時間＝12－7＝5h

後半＝42kmを5hだから

42÷5＝8.4km/h

÷2.1をしてたから元に戻すために×2.1をして

8.4×2.1＝17.64km/h

さっきと同じ時速17.64kmになるね。

よって、答えは17.64となる。

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