倍数変化算。

 【 問題 】３～４年生向け

A君とB君の所持金の比は2：1でしたが、買い物にA君が1700円、B君が700円を使ったので2人の残金の比は4：5になりました。B君の残金はいくらですか。

【 解答 】

倍数算と倍数変化算の基礎は3年生4年生で完璧にしておこう。では、いきます。

倍数算は、差が変わらない、和が変わらない、一方が変わらない、のように変わらないものがあってそれを揃えて解いた。この問題のように変わらないもの（＝一定のもの）がない場合を倍数変化算と言うんだけど、ここでは前にもやった内項の積＝外項の積を使って解いてみる。

A君の初めの所持金＝②

B君の初めの所持金＝①

とする。あとは問題文に従って式を作って解くだけ。

②－1700円：①－700円＝4：5

⇒ ④－2800＝⑩－8500

⇒ ⑥＝5700

⇒ ①＝950、②＝1900

( ※ ④－2800＝⑩－8500、これは絶対に解けるように練習！④と⑩だけを比べると右側が⑥大きいでしょ、＝を崩さないために⑥大きい分だけ右側の引く数を増やしたんだ、理屈をこねて練習！ ）

できました☆

A君＝1900円－1700円＝200円

B君＝950円－700円＝250円

ちゃんと残金は4：5になってるね！

よって、答えは250円となる。

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倍数算１。

 【 問題 】３～４年生向け

A君とB君の所持金の比は5：3でしたが、買い物に使った金額の比が9：5だったので、残金は2人とも120円になりました。はじめのA君の所持金はいくらですか。

【 解答 】

倍数算基礎は3年生と4年生で完璧にしておこう。では、いきましょう。

差を揃えるだけなんだ。どういうことかと言うと、たとえば、Ａ君がＢ君より100円多く持っていたら、Ａ君はＢ君より100円多く使えば、残金が等しくなる。そう、多く持っていた分だけ多く使えば残金は等しくなる、算数で大事なのは当たり前感覚だね。

はじめは5：3でA君がB君より2だけ多く持ってて、9：5でA君はB君より4だけ多く使ったから、残金が等しくなった。この差の2と4は同じなんだ、だから揃えてあげればいい、5：3を2倍して10：6にすれば差は4になるね。

できました☆

⑩－⑨＝⑥－⑤＝残金

⇒ ①＝120円

⇒ ⑩＝1200円

A君のはじめの所持金は1200円、他の数字と合わせて確認すると

A君＝1200円－1080円＝120円

B君＝720円－600円＝120円

ちゃんと残金が120円で等しくなるね！

よって、答えは1200円となる。

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場合の数４。

 【 問題 】５年生向け

さいころを3回投げて出た目を順にa、b、cとします。a×b×cが4の倍数になるとき、a、b、cの組み合わせは何通りありますか。

【 解答 】

積が4の倍数はやっておいた方がいい、大学受験でも聞かれるよ。では、いきましょう。

直接に4の倍数を出すのは面倒なんだ、だって、4が1個でも入ったら4の倍数になるでしょ、それに偶数×偶数でも4の倍数になるけど偶数には4も含まれるから、正面からいくとちょっと面倒なことになる。

正面からいけない場合は、4の倍数でないものを数えてあげればいい。

4の倍数＝全体－4の倍数でないもの

てことだね。これを余事象という。

全体の通り数は6×6×6＝216通り、これから4の倍数でないものを引いてあげればいい。

4の倍数でないものは数えやすい。

・奇数×奇数×奇数

・奇数×奇数×2または6（4を除いた偶数）

この2パターンだけだ。小学生は「確かに！」と言えるまで確認してね。

奇数×奇数×奇数

⇒ 3×3×3＝27通り

奇数×奇数×2または6

⇒ 3×3×2×3＝54通り

奇数×奇数×2または6、の最後の×3だけど、これは、2または6がaにくるのかbにくるのかcにくるのかで3通りあるから×3てことなんだ。

●●〇、●●○○とかの並び替えの練習もしておこう！

できました☆

a×b×cが4の倍数になるのは

216－（27＋54）＝135通り

よって、答えは135通りとなる。

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過不足算１。

 【 問題 】４年生向け

箱Aには44個、箱Bには49個のボールが入ります。箱Aの個数は箱Ｂの個数よりも1箱だけ多いです。何個かのボールがあり、箱Aだけに入れていくと34個が入らず、箱Bだけに入れていくと23個が入りません。ボールは何個ありますか。

【 解答 】

過不足算や差集め算の基本も上に抜けている子以外は数をこなして慣れないといけない。やること多くて大変だけど、勉強＝努力で自分が磨かれると信じてやり抜いて欲しい。では、いきましょう。

箱の個数が違うから揃えてあげようか。ここでは少ない方のBに揃えてみよう。

もし箱Aが箱Bと同じ個数だったら、つまり、箱Aが1箱少なかったとするとどうなるか。そう、ボールがさらに入らなくなる、すでに34個が入らないのにAの箱数を1個減らしたらもっと入らなくなるね。

34＋44＝78個

Aの箱数を1箱減らしてBと同じ箱数にしてあげると、Aにはボールが78個入らなくなるんだ。

Aは78個入らない、Bは23個が入らない、この差は55個（＝78－23）だ。言い換えると、Bの方がAよりも55個多く入ってるんだ。

BはAよりも1箱で5個（＝49－44）多く入る、55個多く入れるには11箱（＝55÷5）てことだね。

44 44 … 44　+78

49 49 … 49　+23

55÷5=11箱

こんな感じでやれるといいね！

できました☆

11箱あるとBの方がAよりも55個多く入るんだ。Aは1箱減らしていたから、Aは11＋1＝12箱だね。ボールの個数は

A：44×11＋78＝44×12＋34＝562個

B：49×11＋23＝562個

AでやってもBでやってもちゃんと同じ個数になるね！

よって、答えは562個となる。

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速さ３。

 【 問題 】４～５年生向け

公園のランニングコースをA君とB君が同時に出発します。A君とB君が反対方向に進むと6分後に出会い、同じ方向に進むとA君がちょうど6周したときに初めてB君を追い越します。A君はランニングコースを1周するのに何分かかりますか。

【 解答 】

速さと比の1行問題だね、上に抜けている子以外は数をこなして慣れた方がいいと思う。では、いきましょう。

A君がちょうど6周したときに初めてB君を追い越すとある、そう、つまり、A君の方が速い。じゃあ、A君が6周する間にB君は何周しているのか、そう、周回遅れだから5周だね。この当たり前感覚が算数の第一歩だ。

A君が6周する間にB君は5周する

⇒ A君の速さ：B君の速さ＝6：5

⇒ A君の速さ＝⑥、B君の速さ＝⑤

ここで1周の距離に着目して式を作ってあげる。A君とB君の出会う式とA君が1周するときの式だ。

(A＋B) × 6分 ＝ A × □分（＝1周の距離）

速さの問題は、速さ×時間＝距離、この式1つでいいんだ。

2人で6分かかって進む距離をA君は□分かかる、A君のかかる時間がわからないから□分としたんだね。この式に、さっきのA君の速さ＝⑥とB君の速さ＝⑤を入れてあげればいい。

できました☆

(⑥＋⑤)×6分＝⑥×□分

⇒ □＝11

よって、答えは11分となる。

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数の性質４。

 【 問題 】４年生向け

何枚かの100円玉をA君、B君、C君、D君の4人で分けました。A君はD君よりも1300円多く、B君はA君よりも1000円少なく、B君とC君の合計は2100円です。また、C君はB君より少なくD君よりは多いです。A君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君はそれぞれいくら持っていますか。

【 解答 】

見た目ほど簡単ではないと思う。いわゆる整数の偶奇問題なんだけど、問題の意味は3年生4年生でもわかると思うから、和差算とか分配算の基礎を終えてから取り組めるといいかな。

では、いきましょう。

全部100円玉なんだから金額を枚数にしてあげる。1300円＝13枚、にした方が数字も小さくなって解きやすい。金額を枚数にしてまとめると下のようになる。

A－D＝13枚

A－B＝10枚

B＋C＝21枚

B ＞ C ＞ D

上の式をじっと見てると分かることがある、そう、B君はD君よりも3枚多い。自分で式を立てたあとに式をよく見ること、何かないかな？と見比べてあげるんだ。

B－D＝3枚

が新たに分かった。

ん？一番下のB ＞ C ＞ Dが怪しくないか、ＢとＤの差は3枚と数が小さい、となると、ＢとＣの差は1枚か2枚のどちらかなんだ。

Ｂ＋Ｃ＝21枚だった、21は奇数だ、和が奇数ということは差も奇数だから、Ｂ－Ｃ＝1枚と分かってしまう。

整数問題で2数の和が奇数なら差も奇数、2数の和が偶数なら和も偶数だ、だって、和が奇数で差が偶数だと2つの数は整数にならないでしょ、各自好きな数字で確認してみて！

できました☆

B＋C＝21

B－C＝1

⇒ B＝11枚、C＝10枚

A－B＝10枚

⇒ A＝21枚

B－D＝3枚

⇒ D＝8枚

よって、答えはA君＝2100円、B君＝1100円、C君＝1000円、D君＝800円となる。

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場合の数３。

 【 問題 】４年生向け

671～680までの10個の整数から異なる3個を選びます。その3個の整数の和が2025になる組み合わせは何通りありますか。ただし、3個の整数の順番を入れかえたものは同じ組み合わせとします。

【 解答 】

計算が得意な子はこのままやってもいけるんだろうけど、和を2025にするのはちょっと大変だ、混乱してしまう。だから数字を小さくしてあげて計算を楽にするんだ。

では、いきましょう。

671～680から3個を選んで和が2025

 

これを言い換えてあげる。

1～10から3個を選んで和が15

にしてあげる。

ん？何をしたの？そう、すべての数字から670を引いたんだ。2025からは3個分の670×3＝2010を引いてあげた。同じ数を引いてるんだから条件は変わらないね。

671～680から3個を選んで和が2025

＝ 1～10から3個を選んで和が15

かなり楽になったね、あとは地道に規則正しく数えてあげる。

3個の整数の和＝15

⇒（1,4,10）（1,5,9）（1,6,8）

（2,3,10）（2,4,9）（2,5,8）（2,6,7）

（3,4,8）（3,5,7）

（4,5,6）

よって、答えは10通りとなる。

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