2025-04-28

面積24。

 【 問題 】5年生向け



三角形ABCは∠A=90°の直角三角形で、AC上に点D、BC上に点Eがあり、∠DEC=90°です。

AB=AD、BE+DE=24㎝、EC=16.8㎝のとき、次の問いに答えなさい。

(1)DEの長さは何㎝ですか。

(2)三角形ABDの面積は何㎠ですか。


【 解答 】

着眼すべきは四角形ABED。四角形ABEDは直角二等辺三角形と直角三角形が組み合わさってできてる。この特徴のある四角形は必ず記憶しておくこと。

では、いきましょう。


(1)

四角形ABEDは、AEに補助線を引くことで、直角二等辺三角形AE’Eに変形できるんだ。



△ADEと△ABE’は合同で、△AE’Eは直角二等辺三角形になる。


四角形ABEDは、対角線BDを引くと

⇒ 直角二等辺三角形ABD+直角三角形DEB

四角形ABEDは、対角線AEを引くと

⇒ △ADEを点A固定で回転させて△ABE'に移動

直角二等辺三角形AE'E


視点を変えてみる。

Bから左にDE=BE'になるようにBE'を引いてあげる。

∠ABE'=180°-∠ABE=∠ADE

BE'=DE

AB=AD

ほら、△ABE'と△ADEは合同でしょ。

ということは、△AE'Eは直角二等辺三角形だね。


DE=BE'

BE+DE=24㎝

⇒ BE+BE’=24㎝

E’E=24㎝


直角二等辺三角形AE'Eの斜辺E'Eが24㎝とわかった。

ここで、AからE'Eに垂線AFを引いてあげる。




AF=FE=12㎝は大丈夫だね。

できました☆


△AFCと△DECは相似だから


AF=12㎝

FE:EC=12㎝:16.8㎝=5:7

DE=12× 7/12=7㎝


となる。

FはE’Eの中点だよ、当たり前の確認ね。


よって、答えは7㎝となる。


(2)

DE=7㎝

BE+DE=24㎝

BE=17㎝


できました☆


直角二等辺三角形AE'Eは四角形ABEDを変形させたものなんだから


四角形ABEDの面積

= 直角二等辺三角形AE'Eの面積

= 24×12× 1/2=144㎠


となる。


三角形ABDの面積

=四角形ABEDの面積-三角形DEBの面積

=144-17×7× 1/2=84.5㎠


頭の中で補助線を描けるようになろう。


よって、答えは84.5㎠となる。


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