【 問題 】5年生向け
三角形ABCは∠A=90°の直角三角形で、AC上に点D、BC上に点Eがあり、∠DEC=90°です。
AB=AD、BE+DE=24㎝、EC=16.8㎝のとき、次の問いに答えなさい。
(1)DEの長さは何㎝ですか。
(2)三角形ABDの面積は何㎠ですか。
【 解答 】
着眼すべきは四角形ABED。四角形ABEDは直角二等辺三角形と直角三角形が組み合わさってできてる。この特徴のある四角形は必ず記憶しておくこと。
では、いきましょう。
(1)
四角形ABEDは、AEに補助線を引くことで、直角二等辺三角形AE’Eに変形できるんだ。
△ADEと△ABE’は合同で、△AE’Eは直角二等辺三角形になる。
四角形ABEDは、対角線BDを引くと
⇒ 直角二等辺三角形ABD+直角三角形DEB
四角形ABEDは、対角線AEを引くと
⇒ △ADEを点A固定で回転させて△ABE'に移動
⇒ 直角二等辺三角形AE'E
視点を変えてみる。
Bから左にDE=BE'になるようにBE'を引いてあげる。
∠ABE'=180°-∠ABE=∠ADE
BE'=DE
AB=AD
ほら、△ABE'と△ADEは合同でしょ。
ということは、△AE'Eは直角二等辺三角形だね。
DE=BE'
BE+DE=24㎝
⇒ BE+BE’=24㎝
⇒ E’E=24㎝
直角二等辺三角形AE'Eの斜辺E'Eが24㎝とわかった。
ここで、AからE'Eに垂線AFを引いてあげる。
できました☆
△AFCと△DECは相似だから
AF=12㎝
FE:EC=12㎝:16.8㎝=5:7
⇒ DE=12× 7/12=7㎝
となる。
FはE’Eの中点だよ、当たり前の確認ね。
よって、答えは7㎝となる。
(2)
DE=7㎝
BE+DE=24㎝
⇒ BE=17㎝
できました☆
直角二等辺三角形AE'Eは四角形ABEDを変形させたものなんだから
四角形ABEDの面積
= 直角二等辺三角形AE'Eの面積
= 24×12× 1/2=144㎠
となる。
三角形ABDの面積
=四角形ABEDの面積-三角形DEBの面積
=144-17×7× 1/2=84.5㎠
頭の中で補助線を描けるようになろう。
よって、答えは84.5㎠となる。

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