【 問題 】４年生向け
三角形ABCは、AB＝3cm、BC＝4cm、AC＝5cm、の直角三角形です。
点EはAC上にあります。
三角形ABCをBEで折り返したところ、折り返した後のBC(BC')とAEは垂直に交わりました。
BC'とAEの交点をDとします。
(1) 三角形ABEと三角形BCC'の面積比はいくつですか。
(2) 三角形BDEの面積は何㎠ですか。
【 解答 】
上に抜けている子はどんなペースでもいい、どこかで一気に仕上がってくるからね。上に抜けていないほとんどの子こそ早めに基礎と標準を固めて、志望校対策を視野に入れるべき。中学受験はやったモン勝ちだ。では、いきましょう。
（１）
これ、(2)から解いた方が解きやすいかもだけど、問題文のとおり順番にいこうか。
まずは、ABとC'Eが平行であることを確認しよう。
折り返す前の角と折り返した後の角は同じだから
∠BCE ＝ ∠BC'E
だね。
∠BCE ＝ ∠ABD
これもいいね。
直角三角形の中の相似を確認して、きちんと目で追うこと。
∠BCE ＝ ∠BC'E
∠BCE ＝ ∠ABD
⇒ ∠BC'E ＝ ∠ABD
∠BC'Eと∠ABDは錯角の位置関係にあって、錯角が等しければ平行である。
∠BC'E ＝ ∠ABD
⇒ ABとC'Eは平行
ここまでは頭の中でやるんだよ。
次なんだけど、△BCC'が二等辺三角形であることはいいね。
問題では、△BCC'と△ABEの面積比が聞かれている。
そして、問題を確認すると
∠BAE ＝ ∠CBC'
であることはすぐわかる、相似を目で追うんだよ。
ここで△ABEを攻める。
折り返す前と折り返した後で
∠BEH ＝ ∠BED
平行線の錯角で
∠ABE ＝ ∠BEH
⇒ ∠BED ＝ ∠ABE
そう、△ABEは∠ABE＝∠AEBの二等辺三角形で、頂角の∠BAEは△BCC'の頂角と等しい。
頂角の等しい二等辺三角形は相似だから
△ABEと△BCC'は相似
になる。
できました☆
△ABEと△BCC'は相似
対応する辺の長さ比は、AB：BC ＝ 3：4
⇒ △ABEと△BCC'の面積比は、3×3：4×4 ＝ 9：16
ここでもう一度、△ABEと△BCC'を見比べるんだ。
△BCC'は二等辺三角形
∠BAE ＝ ∠CBC'
この2点はすぐにわかるはず。そこから折り返し線、ABとC'Eの平行、△ABEの∠ABEに着眼していく。
もちろん、二等辺三角形の相似になんか気が付かなくても構わない、正面から全部の面積を出しにいってもベスト解法だ。
よって、答えは9：16となる。
（２）
これは順々に1つ1つ、出せそうなところから長さを出していけばいいね。
AD
＝ AC × 9/25
＝ 5cm × 9/25 ＝ 1.8cm
BD
＝ AD × 4/3
＝ 1.8cm × 4/3 ＝ 2.4cm
C'D
＝ C'B － BD
＝ 4cm － 2.4cm ＝ 1.6cm
BD：C'D＝2.4：1.6＝3：2
⇒ DE ＝ AD× 2/3
⇒ DE ＝ 1.8cm × 2/3 ＝ 1.2cm
できました☆
△BDEの面積
＝ DE × BD × 1/2
＝ 1.2 × 2.4 × 1/2 ＝ 1.44㎠
解き方は他にもたくさんある。
たとえば、△C'DEから攻めていってもいい。
△C'DEは3：4：5の三角形だね。
C'E：DE ＝ 5：3
C'E ＝ EC
⇒ DE：EC ＝ 3：5
DE：EC ＝ 3：5
AD：DC ＝ 3×3：4×4 ＝ 9：16
⇒ AD：DE：EC ＝ 9：6：10
そう、連比をしてあげたんだね。
AD：DE：EC ＝ 9：6：10
⇒ △BDA：△BDE：△BEC ＝ 9：6：10
△ABC ＝ 4 × 3 × 1/2 ＝ 6㎠
⇒ △BDE ＝ 6㎠ × 6/25 ＝ 36/25㎠
となるよ。
どの解き方もどれも大事、問題を自分のものにしよう！
よって、答えは1.44㎠（36/25㎠）となる。
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