平均算２。

 【 問題 】５年生向け

K中学バスケ部で身長を調べました。1年生8人の平均は164.4cm、2年生□人の平均は165.3cm、3年生6人の平均は171.9cm、全体の平均は166.5cmでした。□に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

前回と全く同じだね。今回も直接には面積図・天秤図を書かないでやってみる。では、いきましょう。

全体の平均は166.5cm。これより低いのは1年生・2年生、高いのは3年生だ。

数字が分かってる3年生から攻める。

3年生はどれだけ高いのか？

平均を基準にして1人あたり171.9－166.5＝5.4cm高いから、3年生全体では5.4cm×6＝32.4cm高いことになる。ということは、1年生・2年生全体では平均を基準にして32.4cm低いことになる。平均とは平らに均す、低い分を高い分で均してあげるんだね。

1年生・2年生＝32.4cm低い

3年生＝32.4cm高い

1年生は数字が分かってるね。1人あたり166.5－164.4＝2.1cm低いから、1年生全体では2.1×8＝16.8cm低い。

1年生・2年生＝32.4cm低い

1年生＝16.8cm低い

⇒ 2年生＝32.4－16.8＝15.6cm低い

できました☆

2年生は1人あたり166.5－165.3＝1.2cm低い。2年生□人で15.6cmだから

1.2cm×□＝15.6cm

⇒ □＝13

2年生は13人だ。

平均を基準にして低いグループと高いグループに分けてあげて、そこでつり合いをとってあげた、そう、それを図示したら天秤図だね。

よって、答えは13となる。

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食塩水４。

 【 問題 】４年生向け

6.5％の食塩水510gと17％の食塩水680gを混ぜたら濃さは何％になりますか。

【 解答 】

これはさすがにそのまま計算したらしんどい。天秤図や面積図のように混ぜ合わせる量の比で考えてあげるんだね。

例えばだけど、2％200gと6％200gを混ぜたら濃度は真ん中の4％になる、当たり前だけど、2％300gと6％300gを混ぜたって濃度は真ん中の4％になる、そう、gが大事なんじゃなくて混ぜ合わせる比率（割合）が大事なんだ、1：1で混ぜ合わせるから真ん中の4％になるんだ。

この問題だと、510gと680gで混ぜたとあるから、510：680＝3：4で混ぜた。6.5％と17％を3：4で混ぜたら何％ですか？と聞いているんだ。例えば300gと400gでも510gと680gと同じ3：4なんだから同じ濃さになるね。

ここでまた大事なことなんだけど、6.5％と17％を3：4で混ぜたら、濃さは6.5％寄りになるだろうか、それとも17％寄りになるだろうか。そう、17％の方をたくさん混ぜたんだから17％寄りの濃さになるはずだ、この当たり前感覚はとても大事、6.5％と17％の真ん中より右寄りの濃さになる。天秤図を書くと下のようになる。

食塩水の量を3：4で混ぜると、濃さはたくさんの量の方に寄って、この問題で言うと6.5％と17％の間の左から4：3のところが混ぜ合わせた食塩水の濃さになる、そう、濃さは食塩水の量の逆比の位置になるんだ。

（天秤図は食塩の量のやり取りをしてるんだけど）まずはイメージを持とう、濃さはたくさんの量の方に寄る、その寄り具合は食塩水の量の逆比になる。

17％－6.5％＝10.5％

10.5％× 3/7＝4.5％

17％－4.5％＝12.5％

天秤図も面積図も慣れてしまえば小学生は上手に書くしスピードも速い、だから途中であきらめないで！

よって、答えは12.5％となる。

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平均算１。

 【 問題 】５年生向け

K中学陸上部で50m走のタイムを計りました。1年生19人の平均は8.4秒、2年生□人の平均は7.7秒、3年生9人の平均は7.2秒、全体の平均は7.9秒でした。□に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

食塩水や平均などの問題において面積図や天秤図を使う・使わないの判断はどうやってするのか。ざっくり言うと不完全が2つあると面積図的・天秤図的な発想が必要になる。たとえばこの問題で言えば、2年生は人数が分かっていないから不完全、全体も人数がわかってないから不完全、不完全が2つあるから面積図的・天秤図的な発想が必要になる。この平均の問題を小学生が

8.4×19＋7.7×□＋7.2×9＝7.9×(□＋28)

とはあまりやらないと思う。もちろんこれをサクッと立式できてサクサク解けるのであれば頼もしいけど、それは要求すべきではないし実際にもしていない。

食塩水の問題でも、たとえば

4％150gの食塩水に10％□gの食塩水を加えたら5％の食塩水になりました。

のような問題では面積図的・天秤図的な発想が必要になる。10％の食塩水はgが分かっていないから不完全、5％の食塩水もgが分かっていないから不完全、不完全が2つあるからだ。この食塩水の問題を小学生が

150×0.04＋□×0.1＝(150＋□)×0.05

とはやらないだろう。小学生は□＝150×1/5＝30と暗算でやるんだ。

中学受験算数では、制約のある中で本質に迫る解き方を小学生なりに模索しているんだ。これらの思考はきっと中学高校、もちろん大学以降においても役立っていると思う。逆説的かも知れないけど、制約の中でこそ人は成長する。では、いきましょう。

ここでは、直接には面積図・天秤図を書かないでやってみる。

全体の平均は7.9秒。これより遅いのは1年生、速いのは2年生・3年生だ。

1年生はどれだけ遅いのか？

平均を基準にして1人あたり8.4－7.9＝0.5秒遅いから、1年生全体では0.5×19＝9.5秒遅いことになる。ということは、2年生・3年生全体では平均を基準にして9.5秒速いことになる。平均とは平らに均す、遅い分を速い分で均してあげるんだね。

1年生＝9.5秒遅い

2年生・3年生＝9.5秒速い

3年生は数字が分かってるね。1人あたり7.9－7.2＝0.7秒速いから、3年生全体では0.7×9＝6.3秒速い。

2年生・3年生＝9.5秒速い

3年生＝6.3秒速い

⇒ 2年生＝9.5－6.3＝3.2秒速い

できました☆

2年生は1人あたり7.9－7.7＝0.2秒速い。2年生□人で3.2秒だから

0.2秒×□＝3.2秒

⇒ □＝16

2年生は16人だ。

平均を基準にして遅いグループと速いグループに分けてあげて、そこでつり合いをとってあげた、そう、それを図示したら天秤図だね。

よって、答えは16となる。

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食塩水３。

 【 問題 】４年生向け

容器Aには10％の食塩水300g、容器Bには4％の食塩水750gが入ってます。いまA、Bから同時に同じ量の食塩水を取り出して、Aから取り出した分はBに、Bから取り出し分はAに入れたところ、Aの食塩水の濃さは5％になりました。Bの食塩水の濃さは何％になりましたか。

【 解答 】

同じ＝変わらない尽くしの問題だね。同じ量を交換してるから交換前と交換後のAとBの食塩水の量は同じだし、AとBで交換してるだけだから全体の食塩の量も同じ＝変わらない。面積図や天秤図でやっても構わないけど、濃さを出すだけだし、ここでは全体の食塩の量が同じ＝変わらないに着目して解いてみるね。では、いきましょう。

交換前のAの食塩の量＝300g×10％＝30g

交換前のBの食塩の量＝750g×  4％＝30g

全体の食塩の量＝30＋30＝60g

AとBでやりとりしてるだけだから、この全体の食塩の量＝60gは変わらない。そしてAとBの食塩水の量も交換前と交換後で変わらない、だって、同じ量を交換してるだけだからね。食塩の量に着目すると下のようになる。

全体の食塩の量＝60g

交換後のAの食塩の量＝300g×5％＝15g

⇒ 交換後のBの食塩の量＝60－15＝45g

できました☆

交換後のBの食塩水の量は交換前と変わらず750gだから、交換後のBの濃さは

45/750 ×100＝6％

となる。面積図や天秤図を書かなくてもできたね！

よって、答えは6％となる。

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割合と比３。

 【 問題 】３年生向け

ある数を6倍しなければならないのに誤って6で割ってしまいました。正しい答えと誤った答えの差が7のとき、ある数はいくつですか。

【 解答 】

ある数＝⑥とおいて進めてみよう。では、いきます。

ある数＝⑥とすると

正しい答え＝⑥×6＝㊱

誤った答え＝⑥÷6＝①

答えの差＝㊱－①＝㉟

できました☆

この㉟が7なんだね。

㉟＝7

⇒ ①＝0.2

⇒ ある数＝⑥＝1.2

確認してみると

1.2×6＝7.2

1.2÷6＝0.2

7.2－0.2＝7

ちゃんと合ってるね！

よって、答えは1.2となる。

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