【 問題 】４～５年生向け
四角形ABCDはAB＝72cm、BC＝81cmの長方形です。頂点Aから辺BCに向けて発射されたボールは反射を繰り返し、いずれかの頂点に到達したときに止まります。●は角度が等しいことを示し、①～⑥は反射した位置の順番の数字で、赤線は6回目の反射の位置までのボールが動いた道筋を表しています。最初に反射した①の位置は辺BC上のBから21cmのところで、ボールはAから①の位置まで75cm動いていました。ただし、ボールの大きさは考えません。
(1) 辺BC上の⑥の位置はCから何cmですか。
(2) ボールは何回反射してどの頂点に到達しますか。また、頂点に到達するまでにボールは何cm動きますか。
【 解答 】
ボールは進行方向（水平方向）に21cm進むごとに上下（AD、BC）にぶつかって反射し、81cm進むごとに左右（AB、DC）にぶつかって反射するんだ。ここさえ押さえておけばあとは簡単、では、いきましょう。
（１）
ボールは進行方向（水平方向）に21cm進むごとに上下（AD、BC）にぶつかって反射する。
Bから①の距離は21cm、そこから21cm進んでぶつかって反射するからAから②の距離は21×2＝42cm、そこからさらに21cm進んでぶつかって反射するからBから③の距離は21×3＝63cmだね。
問題は次だ。
水平方向に21cm進んで上下（AD、BC）にぶつかって反射するのだから
③からCの距離＋Dから⑤の距離＝21cm
なんだ。上下の反射から反射までは水平方向に21cm、ここを押さえる。
③からCの距離は81－63＝18cmだから
Dから⑤の距離＝21－18＝3cm
となる。
⑤の位置から水平方向に21cm進んで⑥の位置にぶつかるんだから
Cから⑥の距離＝3＋21＝24cm
となる。
慣れてきたら一発で21×5－81＝24cmでもいいし、練習のときは相似でも確認できると良いね。
よって、答えは24cmとなる。
（２）
ボールは進行方向（水平方向）に21cm進むごとに上下（AD、BC）にぶつかって反射し、81cm進むごとに左右（AB、DC）にぶつかって反射する。
上下： 21cmごと
左右： 81cmごと
いずれかの頂点に到達するとは、上下と左右に同時にぶつかることを意味する。だって、上下のどこかにぶつかる、左右のどこかにぶつかる、これが同時に起こるのは頂点しかないでしょ。
同時にぶつかるのは21cmと81cmの最小公倍数の567cm、そう、ボールが水平方向に567cm進むと上下にも左右にもぶつかる＝どこかの頂点に到達する。
できました☆
上下には21cmごと、左右には81cmごとにぶつかるのだから、反射の回数は
上下： 567÷21＝27 27－1＝26回
左右： 567÷81＝7 7－1＝6回
⇒ 26＋6＝32回
となる。ここで注意しなきゃなのは－1だね。なんで－1をするのかだけど、最後はぶつかるけど反射しないからだ、反射せずにそのまま頂点におさまってしまう。
反射の回数＝ぶつかる回数－1
忘れないようにね。
つぎは、どの頂点に到達するか。
上下のぶつかりの1回目は下、2回目は上、3回目は下、、、そう、奇数回目が下で偶数回目が上だね。上下は27回目が最後だから下。
左右のぶつかりの1回目は右、2回目は左、3回目は右、、、そう、奇数回目が右で偶数回目が左だね。左右は7回目が最後だから右。
下の右の頂点はCだね。ボールは頂点Cに到達して止まる。
最後は、ボールが動いた距離。
水平方向に21cm進むとボールは75cm動くんだ。
ボールは頂点Cに到達するまで水平方向に567cm進むのだから、ボールの動いた距離は
567× 75/21＝2025cm
となる。21cm、72cm、75cm（7：24：25）も直角三角形なんだね。
ボールは上下(AD、BC)で26回、左右(AB、DC)で6回、合計32回反射して、頂点Cに到達する。その間にボールが動いた距離は2025cmである。
よって、答えは32回、頂点C、2025cmとなる。
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