数列４。

 【 問題 】３～４年生向け

上のように規則正しく1から順に奇数を並べます。

例えば、11は6番目の奇数で上から3段目の左から2番目の数字です。これを

11 ＝（6、3、2）

と表すことにします。31であれば

31 ＝（16、4、7）

となります。

次のA～Hにあてはまる数字は何ですか。

A ＝（B、20、25）

2025 ＝（C、D、E）

F ＝（2025、G、H）

【 解答 】

数字にあまり親近感を持てない子や計算があまり速くない子ほど早い時期から取り組んで欲しい。3年生、4年生が勝負の時期だ。では、いきましょう。

［１］

A ＝（B、20、25）

Aは上から20段目の左から25番目の数字だね。

1段目は1個、2段目は3個、3段目は5個、と順々に奇数個ずつ並んでいるから、□段目の右端の数字は

□×□ 個目

の数字になってる。そう、1から始まる奇数の和（ cf.数列1 ）だね。

ということは、19段目の右端は何個目の数字だろう？そう、19×19＝361個目の数字だ。20段目の左端は？そう、361＋1＝362個目の数字だね。じゃあ、20段目の左から25番目は？？

19段目の右端＝361個目

20段目の左端＝362個目

20段目の左から25番目＝386個目

ここ大事、この当たり前を当たり前にやるのが算数。左端から25個並んでいるのだから、等差数列の間の数と同じで、＋24をしてあげればいい。だから、20段目の左から25番目は362＋24＝386個目の数字だ。この386がBで、Aは386番目の奇数だから、A＝386×2－1＝771だね。

771は386番目の奇数で上から20段目の左から25番目

A ＝（B、20、25）

⇒　771 ＝（386、20、25）

［２］

2025 ＝（C、D、E）

Cはすぐわかるね、2025はC番目の奇数だから

C×2－1＝2025

⇒ C＝1013

1013個の奇数が並ぶためには何段いるんだろう？さっきやった1から始まる奇数の和を使う。

2段目の右端＝2×2＝4個目

3段目の右端＝3×3＝9個目

4段目の右端＝4×4＝16個目

・・・

31段目の右端＝31×31＝961個目

32段目の右端＝32×32＝1024個目

□×□が1013に近くなる□を頑張ってあてはめで探してあげると31と32が出てくる。そう、1013個目の数字の2025は32段目にあるんだ。この32がＤだね。

31段目の右端＝31×31＝961個目

32段目の左端＝961＋1＝962個目

32段目の右端＝32×32＝1024個目

ここ大事、962個目～1013個目は何個の数字が並んでるのか？そう、1013－961＝52個もしくは1013－962＋1＝52個だね。瞬時に分からなくても大丈夫、絶対にズラさないように丁寧に攻めよう。この52がＥだね。

2025は1013番目の奇数で上から32段目の左から52番目

2025 ＝（C、D、E）

⇒　2025 ＝（1013、32、52）

［３］

F ＝（2025、Ｇ、Ｈ）

Fは2025番目の奇数だから

F＝2025×2－1＝4049

2025個の奇数が並ぶためには、45×45＝2025だから、ぴったし45段あればいいね。45段目の右端が2025番目の奇数の4049なんだ。この45がGだね。

45段目には何個の数字が並んでるのか？45×2－1＝89個とすぐに分かってしまうけど、せっかくなのでここでは□×□で攻めてみよう。

44段までは44×44＝1936個の奇数が並んでる。

45段までは45×45＝2025個の奇数が並んでる。

⇒ 45段目には2025－1936＝89個の数字が並んでる。

そう、つまり、45段目の右端は左から89番目なんだ。この89がHだね。

4049は2025番目の奇数で上から45段目の左から89番目

Ｆ ＝（2025、Ｇ、Ｈ）

⇒　4049 ＝（2025、45、89）

よって、答えは

Ａ＝771、Ｂ＝386

Ｃ＝1013、Ｄ＝32、Ｅ＝52

Ｆ＝4049、Ｇ＝45、Ｈ＝89

となる。

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消去算４。

 【 問題 】４年生向け

3年生、2年生、1年生の合計69人に原こう用紙300枚を配ります。3年生に6枚ずつ、2年生に4枚ずつ、1年生に3枚ずつ配ると原こう用紙は8枚足りません。配り方を変えて、3年生に3枚ずつ、2年生に4枚ずつ、1年生に6枚ずつ配ると原こう用紙は7枚余ります。2年生は何人ですか。

【 解答 】

人数も枚数も分かってるから、未知数3つに対して式もきれいに3つ作れる。そのまま消去算に持ち込んだ方がミスが出ないと思う。では、いきましょう。

人数と枚数の式を作ってあげる。

3年生＝□人、2年生＝△人、1年生＝〇人とすると

□＋△＋〇＝69人

□×6＋△×4＋〇×3＝308枚

□×3＋△×4＋〇×6＝293枚

8枚足りないというのはちょうど配るためにはあと8枚必要なんだから300＋8＝308枚、7枚余るというのはちょうど配るためには7枚不要なんだから300－7＝293枚だね。

あとは解くだけ。〇を消去してみようか。

□＋△＋〇＝69　を×3して

□×3＋△×3＋〇×3＝207

□×6＋△×4＋〇×3＝308

⇒ □×3＋△×1＝101

□＋△＋〇＝69　を×6して

□×6＋△×6＋〇×6＝414

□×3＋△×4＋〇×6＝293

⇒ □×3＋△×2＝121

〇を消去したから□と△だけの式になった。

できました☆

□×3＋△×1＝101

□×3＋△×2＝121

⇒ △＝20、□＝27

□と△がわかったから〇も出せる。

□＋△＋〇＝69

⇒ 〇＝22

□＝3年生＝27人、△＝2年生＝20人、〇＝1年生＝22人。

確認してみると

27＋20＋22＝69

27×6＋20×4＋22×3＝308

27×3＋20×4＋22×6＝293

人数も枚数もちゃんと合うね！

よって、答えは20人となる。

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