【 問題 】５年生向け
A社は2025年で創立100周年を迎えます。
2025年は令和7年ですが、もし昭和が続いていたとしたら2025年は昭和100年になります。
2025年を西暦、昭和や令和を和暦と言います。
もし仮に昭和が続いていたとして、昭和2年～昭和100年の間に、西暦と和暦の最大公約数が1となる年は何回ありますか。
たとえば、令和であれば、2020年は令和2年で2020と2の最大公約数は2、2021年は令和3年で2021と3の最大公約数は1となります。
【 解答 】
2025－100＝1925
1925＝5×5×7×11
100÷5＝20
100÷7＝14
100÷11＝9
100÷35＝2
100÷55＝1
100÷77＝1
20＋14＋9－(2＋1＋1)＝39
99－39＝60回
前にやった問題と同じだね（ Read more » cf.数の性質3 ）。では、いきましょう。
西暦と和暦の関係で変わらないものがある、そう、差だ。2025年が昭和100年だから、西暦と昭和の差は1925、これはどの年でも変わらない。
西暦－昭和＝1925
この変わらない差の1925に着目する。
1925＝5×5×7×11
差の1925は5の倍数でもあり7の倍数でもあり11の倍数でもある。
そう、つまり、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数であると最大公約数が1ではなくなってしまう。
具体的な数字で確認してみよう。
昭和5年＝西暦1930年
⇒ 最大公約数＝5
昭和7年＝西暦1932年
⇒ 最大公約数＝7
昭和10年＝西暦1935年
⇒ 最大公約数＝5
昭和11年＝西暦1936年
⇒ 最大公約数＝11
昭和35年＝1960年
⇒ 最大公約数＝35
昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数だと最大公約数が1ではなくなる。
そう、たとえば、A－B＝5の倍数だとすると、Ｂが5の倍数であればＡも5の倍数になるってことなんだ。
西暦－昭和＝1925
⇒ 西暦－昭和＝5の倍数
⇒ 西暦－昭和＝7の倍数
⇒ 西暦－昭和＝11の倍数
1925は5の倍数、7の倍数、11の倍数だから、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数だと西暦も5の倍数、7の倍数、11の倍数になって、最大公約数が1ではなくなる。
できました☆
昭和2年～昭和100年から、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数であるものを取り除いてあげると、西暦と和暦の最大公約数が1のものが残る。
昭和が5の倍数
⇒ 100÷5＝20回
昭和が7の倍数
⇒ 100÷7＝14回
昭和が11の倍数
⇒ 100÷11＝9回
これらは全て最大公約数が1ではない。
20＋14＋9＝43回
これが全部なんだけど、油断してはいけない、重複がある。重複分は引いてあげないといけない。
35の倍数（5の倍数と7の倍数の重複）
⇒ 100÷35＝2回
55の倍数（5の倍数と11の倍数の重複）
⇒ 100÷55＝1回
77の倍数（7の倍数と11の倍数の重複）
⇒ 100÷77＝1回
43－2－1－1＝39回
この39回は最大公約数が1ではない。昭和2年～昭和100年は99回だから
99－39＝60回
この60回が最大公約数が1なんだね。
よって、答えは60回となる。
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