【 問題 】４～５年生向け
Aさんは3の倍数を、Bさんは5の倍数を以下のように順番に足していきました。Ａさんの和を▢、Ｂさんの和を△とします。
3＋6＋9＋12＋15＋・・・＝ ▢ (Ａさんの和)
5＋10＋15＋20＋25＋・・・ ＝ △ (Ｂさんの和)
ＡさんはＢさんより5個多く数字を足しており、Ａさんが最後に足した数字とＢさんが最後に足した数字の差は25です。▢と△の和はいくつですか。
【 解答 】
3×5＝15
25＋15＝40
40÷2＝20個
20＋5＝25個
(3＋3×25)×25÷2＝975
(5＋5×20)×20÷2＝1050
975＋1050＝2025
3と5と20と25しか出てこない算数らしい問題だね。Ａさんの数字の個数を無理やり5個減らしてＢさんと同じ個数にすると、Ａさんの最後の数字とＢさんの最後の数字の差は40になることに気が付けば暗算だ。では、いきましょう。
Ａさんの数字の個数を無理やり5個減らしてＢさんと同じ個数にすると、Ａさんの最後だった数字は3×5＝15だけ減る。その15減らした数字はＢさんの最後の数字よりも小さいね、だって、Ａさんは3の倍数でＢさんは5の倍数なんだから同じ個数を並べたとしたら最後の数字はＢさんの方が大きいでしょ、この当たり前感覚で差が付いちゃうからここを頑張ろう。
15減らした数字はＢさんの最後の数字よりも小さい、ということは、問題文にある差の25はＡ－Ｂ？Ｂ－Ａ？どちらだろう。そう、もちろんＢ－Ａだ、だって、Ａさんの方が25大きかったとしたら15減らしてもＢさんより25－15＝10大きくなっちゃう、同じ個数を並べたら5の倍数のＢさんの方が大きいのだからそれではおかしいね。
Ａさんが最後に足した数字とＢさんが最後に足した数字の差は25
⇒ Ｂ－Ａ＝25
ここを押さえればあとは簡単。
数字の個数をBさんにそろえるためにＡさんの個数を5個減らす、5個減らすとＡさんの最後の数字は15減る、すると、Ｂ－Ａ＝25の差がさらに広がる、そう、Ｂ－Ａ＝25＋15＝40になるんだ。
Ｂさんの個数にそろえた後の最後の数字の差
⇒ Ｂ－Ａ＝40
できました☆
3＋ 6＋ 9＋12
5＋10＋15＋20
同じ個数を並べた場合、最後の数字の差は2×個数になる。
上のように4個並べた場合は最後の数字の差は2×4＝8になってるね。
Ｂさんの個数にそろえた後の最後の数字の差は40なんだから、Ｂさんは
40÷2＝20個
の数字を足してたんだね。
Ｂさんが20個ならＡさんは＋5で25個の数字を足してる。
Ａさんの最後の数字
＝ 25個目の数字
＝ 3×25＝75
Ｂさんの最後の数字
＝ 20個目の数字
＝ 5×20＝100
差は25にちゃんとなってるね。
▢＝Ａさんの和、△＝Ｂさんの和を出そう、等差数列だから余裕だね。
▢＝(3＋ 75)×25÷2＝ 975
△＝(5＋100)×20÷2＝1050
▢＋△＝975＋1050＝2025
数字を入れてあげると
3＋6＋9＋12＋15＋・・・＋75＝975
5＋10＋15＋20＋25＋・・・ ＋100＝1050
100－75＝25
975＋1050＝2025
大丈夫だね！
よって、答えは2025となる。
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