【 問題 】４～５年生向け
四角形ABCDはADとBCが平行な台形です。
点Eと点Gは台形ABCDの辺上にあります。
点EはABの中点、DEとGBは平行、ECとGBの交点を点Fとします。
四角形DEFGの面積は70㎠、三角形FBCの面積は90㎠、AD＝10㎝です。
台形ABCDの面積は何㎠ですか。また、BCの長さは何㎝ですか。
【 解答 】
中学受験での面積や場合の数は大学受験でもかなり役に立つから、欲張ってあれもこれもやってみよう。
この問題も6年生になったら頭の中で補助線を引いて解き方を目で追えるようにね。では、いきましょう。
大事な点が2つ。
AE＝EB
DEとGBが平行
平行があれば相似を疑う。ADとBCも平行、DEとGBも平行、平行と平行がある、ここをきちんと押さえる。
ここで台形についての鉄則がある。
鉄則６．
AE＝EBのとき、三角形DECは台形の面積の半分
当たり前なんだけど、鉄則まで高めておく。
つまり、△DECの面積×2で台形の面積が出せる。
問題に戻ると、AD＝10㎝とAE＝EBがわかってるから、ここから絡めて相似を作っていく。
△EADをEを中心にくるっと回転させて下に持ってくる、そう、EAをEBに重ねてあげる。
すると次のような感じになる。
△AEDと△BEHは合同だから、DE＝EHだね。
すると、DHとGBは平行だから、GFとFBもGF＝FBになる。
そう、CEは△CDHを1：1に分ける線なんだ（ Read more » cf.面積2 ）。
GF＝FB
⇒ △CGFの面積＝△CFBの面積
⇒ △CGFの面積＝90㎠
できました☆
台形の面積は△DEC×2だから
台形ABCDの面積
＝ △DECの面積×2
＝（70＋90）× 2 ＝ 320㎠
となる。
続いて、△DECと△GFCを見る。
△DECの面積：△GFCの面積
＝ 70＋90：90
＝16：9
面積比がわかると相似比がわかる。
△DECの面積：△GFCの面積＝16：9
⇒ △DECと△GFCの相似比は4：3
⇒ DG：GC＝EF：FC＝1：3
DG：GC＝EF：FC＝1：3
⇒ HB：BC＝1：3
AD＝HB＝10㎝だから
AD＝10㎝
⇒ BC＝10×3＝30㎝
となる。
押さえるべき点は
△DECの面積＝台形ABCDの面積×1/2
DE＝EH ⇒ GF＝FB
平行があれば常に相似を疑う
この3点をしっかりとだね。
習うより慣れろの側面はあると思う。なかなか大変だけど、大学受験まで使えると思えばお得に感じられない？
中学受験はやりようによっては多くの子にチャンスがあるはず、ここは頑張った方がいい！
よって、答えは台形ABCDの面積＝320㎠、BC＝30㎝となる。
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