数の性質３。

 【 問題 】５～６年生向け

【 解答 】

分子と分母の和が2025なんだね。

2025＝3×3×3×3×5×5

だから、分子が3の倍数もしくは5の倍数なら約分できる。だって、分子と分母の和が3の倍数で分子が3の倍数なら、必ず分母も3の倍数になるでしょ。たとえば、3/2022なら、分子と分母の和2025は3の倍数で分子も3の倍数、ほら、分母の2022も3の倍数になってるね。

それでは、解説にいきましょう。

（１）

B/Aが1を超えない最大の分数なんだから

2025÷2＝1012…1

1012を分子に、1013を分母にもってこればいい、1を超えてないね。

よって、答えは1012/1013となる。

（２）

2025＝3×3×3×3×5×5

だから、分子が3の倍数もしくは5の倍数なら約分できる。

2/2023～1012/1013まで分数は1011個ある。

分子が3の倍数は

1012÷3＝337個

分子が5の倍数は

1012÷5＝202個

分子が15の倍数は

1012÷15＝67個

分子が3または5の倍数であるのは

337＋202－67＝472個

ある。

できました☆

全部で分数が1011個あって、約分できるのが472個なんだから、約分できない分数の個数は

1011－472＝539個

よって、答えは539個となる。

（３）

約分して分子が1になるのは、分子が2025の約数であればいい。だって、たとえば、分子と分母の和が15のとき、分子が15の約数であれば

1/14、3/12=1/4、5/10=1/2

で分子が1になるでしょ。悩んだときは小さな数字で確認してみると良いよ。

2025の約数は、小さい方から

1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025

これらを分子にして分数を作ってみると

3/2022、5/2020、9/2016、15/2010、25/2000、27/1998、45/1980、75/1950、81/1944、135/1890、225/1800、405/1620、675/1350

うん、大丈夫、ちゃんと約分できて分子が1になるね。

よって、答えは13個となる。

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分配算。

 【 問題 】４～５年生向け

Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君の4人の所持金を合計すると1000円です。Ａ君の所持金から20円を引いた金額と、Ｂ君の所持金を2倍にした金額と、Ｃ君の所持金に100円を加えた金額と、Ｄ君の所持金を半分にした金額がどれも等しいとき、Ｄ君の所持金はいくらですか。

【 解答 】

受験算数において大事なのは「等しい」とか「同じ」とかの文言だ、だって、＝で等式が作れるでしょ。式を作らなければ誰も解けないのだから、文言に着目して式を作っていこう。あと、この問題だと、一番に着眼すべきはＢ君とＤ君の関係だ。なぜなら

Ｂ×2＝Ｄ×1/2

⇒ Ｂ：Ｄ＝1/2：2＝1：４

⇒ Ｂ＝①、Ｄ＝④

そう、逆比を使ってＢ君とＤ君の所持金の比がすぐに出せるからだ。Ｂ君の所持金＝①、Ｄ君の所持金＝④から始めてみよう。

Ａ－20＝①×2＝Ｃ＋100＝④÷2＝②

問題文を式にすると上のようになる。Ｂ君＝①、Ｄ君＝④で立式したんだ。すると、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君、Ｄ君のそれぞれの所持金は

Ａ君＝②＋20

Ｂ君＝①

Ｃ君＝②－100

Ｄ君＝④

となるね。これを全部足すと1000円なんだ。

できました☆

（②＋20）＋①＋（②－100）＋④＝1000

⇒ ⑨－80＝1000

⇒ ⑨＝1080、①＝120円

Ｄ君の所持金は④だから

①＝120円

⇒ ④＝480円

よって、答えは480円となる。

確認すると

Ａ君＝②＋20＝240＋20＝260円

Ｂ君＝①＝120円

Ｃ君＝②－100＝240－100＝140円

Ｄ君＝④＝480円

合計＝260＋120＋140＋480＝1000円

ちゃんとなってるね☆

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数の性質２。

 【 問題 】４年生向け

A×B＝100　B×C＝75　A×C＝48

このとき、Bはいくつですか。

【 解答 】

あてはめでもいけそうだけど、あてはめは算力がない子がやるとただただ時間だけが浪費されてしまうし、何も実りがない、少なくとも練習のときは正攻法でちゃんと解きましょう。

A×B＝100

B×C＝75

この２つの式を見比べて気付くことがある。ああ、AはCよりも大きいんだなと。するとAとCの大きさの比が分かる。

A：C＝100：75＝4：3

AとCの大きさの比は4：3なんだ。ここでA×C＝48と比べてあげる。

A×C＝48

なんだけど、A：C＝4：3だから、A＝4、C＝3としてあげると

A×C＝48

4×3＝12

48に届かないね。積を12ではなく48にしなくてはいけない、そう、×4をすればいいんだ。

このとき注意が必要、積を×4するにはAとCをそれぞれ×4をするのではなくて×2をしないといけない（4＝2×2の平方数だから）。それぞれを×4してしまうと積は×16になってしまうからね。

A×C＝48

8×6＝48

×2、×2で×4になってるね。

できました☆

Ａ＝8、Ｃ＝6だから

8×Ｂ＝100　Ｂ×6＝75

⇒ Ｂ＝12.5

よって、答えは12.5となる。

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速さ１。

 【 問題 】４年生向け

親戚の家まで車で行きます。時速75kmで行くと予定の時刻より30分早く着き、時速50kmで行くと予定の時刻より30分遅く着きます。予定の時刻に着くためには、時速何kmで行けばよいですか。

【 解答 】

速さ×時間＝距離、これさえ理解しておけば速さの問題は対応できる。ただ、旅人算のように問題設定が複雑になると正確に線分図を書くという作業が求められる。文章を正確に線分図に落とすんだ。この問題では必要ないけどね。では、いきましょう。

75m/h×□＝50km/h×△(＝親戚の家までの距離)

(□は時速75kmで行くときにかかる時間、△は時速50kmで行くときにかかる時間）

⇒ □：△＝2：3

⇒ □＝②、△＝③

そう、ここでも逆比だね。時速75kmの方が時間がかからない、時速50kmの方が時間がかかる、速さのの逆比がかかる時間の比になる。

時速75ｋｍで行くと②の時間、時速50kmで行くと③の時間がかかるんだから、この差の③－②＝①が1時間（＝30分＋30分）なんだ

①＝1時間

⇒ ②＝2時間、③＝3時間

できました☆

75m/h×2h＝50km/h×3h＝150km

150kmが親戚の家までの距離、この150kmを

2＋0.5＝3－0.5＝2.5時間

で行けば予定の時刻に着く。速さ×時間＝距離、だから

〇×2.5h＝150km

⇒ 〇＝60km/h

よって、答えは時速60kmとなる。

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時計算。

 【 問題 】３年生向け

3：30のとき、長針と短針のなす角度のうち小さい方の角度は何度ですか。

【 解答 】

短針はあまり動かないから遅い、長針はたくさん動くから速い、これは２年生でも分かるから時計算基礎は３年生のうちに完璧にしたい。

短針：1時間＝30° ⇒ 1分＝0.5°

長針：1時間＝360° ⇒ 1分＝6°

そう、つまり、1分間で長針は短針よりも6－0.5＝5.5°多く進むんだ。

3時のときの角度は90°、もちろん270°でもいいんだけど、ここでは90°でやってみよう。

3：30の角度を聞かれたときには3時の角度を考えるんだ。

4：50なら4時の角度、11：45なら11時の角度を考える。

3時の角度は90°なんだけど、この90°は広がっていくのか、それとも縮まっていくのか、そう、もちろん縮まっていく。だって、長針の方が速いからね。90°は段々と縮まっていって、重なって、短針を追い越して引き離していくんだ。

1分で長針は短針よりも5.5°多く進むんだった。ということは、30分では

5.5×30＝165°

多く進むんだ。

もうわかった☆

3時のときの角度は90°だった、この90°は段々と縮まっていって、重なって、その後は広がっていくんだ。長針が165°多く進むんだから、90°を縮めて、重なって、追い越していくんだね。

できました☆

165°－90°＝75°

長針は90°を縮めて短針を追い越して75°の差をつけるんだ。

よって、答えは75°となる。

ちなみにテストのときは

5.5×30－90＝75°ですぐに終わっちゃうね☆

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年齢算。

 【 問題 】３年生向け

現在の父と長男の年齢の比は7：1です。15年後には父と長男の年齢の比は5：2になります。現在の長男の年齢はいくつですか。

【 解答 】

年齢算で大事なのは「差が変わらない（差が一定）」だ。算数では変わらないものに着目する問題に「倍数算」という名称がついている。年齢算は差が変わらない倍数算のことだ。差が変わらない（差が一定）に着目して解いてみよう。

現在

父＝7

長男＝1

差＝6

15年後

父＝5

長男＝2

差＝3

ん？これはおかしい。だって、年齢の差は何年前だろうが何年後だろうが変わらないんだ。差が6と3で違うのはおかしい、そろえてあげよう、そう、最小公倍数の6でそろえてあげるんだ。

現在

父＝⑦

長男＝①

差＝⑥

15年後

父＝⑩

長男＝④

差＝⑥

そう、15年後の数字を2倍してあげたんだね。

できました☆

⑩－⑦＝④－①＝③が15年なんだ。

③＝15

⇒ ①＝5

よって、現在の長男の年齢は5歳となる。

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植木算。

 【 問題 】３～４年生向け

公園の池の周りに桜の木を植えます。木と木の間隔を6ｍにするのと10ｍにするのでは木の本数が30本違います。池の周りの長さは何ｍですか。

【 解答 】

植木算で大事なのは「間の数」、間の数が出てから木の本数が出る。

池の周りだから、間の数＝木の本数、となることは２年生でもいけるから、植木算は２年生からやらせたい。

６ｍ×□＝10ｍ×△（＝池の周りの長さ）

（□は6ｍのときの間の数、△は10ｍのときの間の数）

⇒ □：△＝5：3

⇒ □＝⑤、△＝③

そう、ここでも逆比だ。6ｍの方が間隔が狭いんだから間の数は多くなるよね、これを逆比という。

6ｍのときの間の数＝⑤てことは、6ｍのときの木の本数も⑤になる。だって、池の周りなんだから、間の数と木の本数は同じになるね。同様にして、10ｍのときの間の数＝③てことは、10ｍのときの木の本数も③になる。

6ｍのときの木の本数＝⑤

10ｍのときの木の本数＝③

この差の⑤－③＝②が30本なんだ。

②＝30

⇒ ①＝15、⑤＝75、③＝45

できました☆

池の周りの長さは

6ｍ×75＝10ｍ×45＝450ｍ

よって、答えは450ｍとなる。

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数の性質１。

 【 問題 】３～４年生向け

1×2×3×4×5×・・・×□＝A

Aが初めて2025で割り切れるとき（商が整数で余りが出ないとき）、□はいくつですか。

【 解答 】

素因数分解という言葉なんて知らなくていいけど、素数の積には直せないといけない。

2025＝3×3×3×3×5×5

そう、2025は3が4個と5が2個でできているんだ。

つまり、Ａの中に3が4個と5が2個あれば2025で割り切れる。

3が4個から見てくと

3、6、9

ここまでで3が4個ある。だって、9＝3×3だから9は3が2個分だね。

1～9まで掛け算すれば3は4個ある。

次は、5が2個だから

5、10

ここまでで5が2個ある、そう、つまり、1～10まで掛け算すれば5は2個ある。

できました☆

1～10まで掛け算すれば、3が4個と5が2個の両方が出てくる。

1×2×3×・・・×9×10＝Ａは2025で割り切れるんだ。

よって、答えは10となる。

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食塩水１。

 【 問題 】４年生向け

9％の食塩水に水を100ｇ加えると7％の食塩水になりました。9％の食塩水は何ｇでしたか。

【 解答 】

食塩水の問題は絶対に落とせない、なぜなら、問題を発展させる余地があまりないからだ。

だって、食塩水×％＝食塩、この式しかないのだから。東海地区であれば絶対に落としたくない単元の１つが食塩水の問題だ。

では、問題に入ろう。

水を加えただけだから食塩の量は変わらない。この「変わらない」が算数では着眼点になる。

□×9％＝△×7％（＝食塩）

（□は元々の食塩水の量、△は水100ｇ加えた後の食塩水の量）

⇒ □：△＝7：9

⇒ □＝⑦、△＝⑨

そう、ここでも逆比だ。水を加える前が⑦、水を加えた後が⑨、②だけ増えてるね、この②が加えた水100ｇなんだ。

⑨－⑦＝②＝100ｇ

⇒ ①＝50ｇ

できました☆

9％の食塩水の量は⑦だから

①＝50ｇ

⑦＝350ｇ

よって、答えは350ｇとなる。

確認すると

350ｇ×9％＝450ｇ×7％＝31.5ｇ（食塩の量）

水を加える前と後とで食塩の量は同じだね！

ちなみにテストのときは問題文に下線引いて

9％の食塩水、7％の食塩水

　　⑦　　　　　　⑨

て書いて、②＝100、⑦＝350ｇで終わりだよ！簡単だね☆

面積図とか書いてちゃダメだよ！

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数列。

 【 問題 】４～５年生向け

11＋13＋15＋17＋・・・＋□＝2000

□に当てはまる整数はいくつですか。

【 解答 】

2025年だから2025に関する問題は受験生であれば必須になる。

例えば、1×1～9×9までの九九を全部足したら45×45＝2025になるとかも、実際に南山女子中学で過去に出題されたことがあるものの、触れておいた方がいい問題だと思う。頭の体操にもなるしね。

1から始まる奇数の和は４年生とか５年生でやっておいた方がいい。等差数列は２年生でもやれるから、やれる以上は早く早くがあとあと楽になるはず。あとあと楽がやっぱり良いよ！

1から始まる奇数の和は、実は個数×個数なんだ。

1＋3＝2×2＝4

1＋3＋5＝3×3＝9

1＋3＋5＋7＝4×4＝16

1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝25

ちゃんと、1から始まる奇数の和＝個数×個数、になってるね。

これを知らないとこの問題を解くのが一気に面倒になるし、知っていると一気に楽になる。

11＋13＋15＋17＋・・・＋□＝2000

これに1＋3＋5＋7＋9（＝5×5＝25）を足してあげる

すると

1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋・・・＋□

＝2025

になる。

これで1から始まる奇数の和になった。

ということは個数×個数でいけるんだね。

2025は平方数で、2025＝45×45なんだ、そう、つまり、1～□までに奇数が45個並んでるってことになる。

できました☆

□は1から数えて45個目の奇数なんだから

□＝1＋2×44＝89

よって、答えは89となる。

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売買算１。

 【 問題 】５年生向け

ある財布を定価で売ると、１個あたり1800円の利益があります。この財布を定価の40％値引きで15個売ったときの利益は、定価の1500円値引きで20個売ったときの利益と等しくなります。この財布の原価（仕入れ値）はいくらですか。

【 解答 】

６年生になればほぼ暗算で解けるようになるはず。

売買算のような割合の問題では「等しい」とか「同じ」とかの文言が大事になる。だって、＝で式が作れるでしょ、算数では

文章を読む⇒自分で式を作る⇒自分で式を解く⇒確認をする

の作業が必要なんだ。プロセス（過程）が多いから苦手とする子も多いんだと思う。

問題文に戻ると、15個の利益と20個の利益が等しいと書いてある。40％値引きでの15個の利益と1500円値引きでの20個の利益が等しいんだ。

立式してみると

□×15＝△×20

（□は40％値引きの1個あたりの利益、△は1500円値引きの1個あたりの利益）

ここで大事なのは15個の利益と20個の利益が等しいてことは、1個あたりの利益は、15個の方が20個の方より多いてことだ。だから、□の方が△よりも数が大きくなる。

□×15＝△×20

⇒ □：△＝4：3

となる。これを逆比という。逆比は超大事だから感覚をしっかりとつかむこと。

□：△＝4：3と分かったから、ここで

□＝④（40％値引きの1個あたりの利益）

△＝③（1500円値引きの1個あたりの利益）

とおいてみよう。

△＝③は1500円値引きで売ったときの1個あたりの利益だった。つまり、この③は300円なんだ。だって、定価で売ると1800円の利益て書いてある、それを1500円値引きするてことは利益がそのまま1500円減ってしまうということだから、利益は

1800円－1500円＝300円

になる。

③＝300円

⇒ ①＝100円、④＝400円

定価の40％値引きで売ると1個あたりの利益は④＝400円なんだ。

定価で売ると1個あたりの利益は1800円、それを40％値引きで売ると利益は400円になった、そう、つまり、定価の40％が

1800円－400円＝1400円

なんだ。40％値引きしたから利益が1400円減ったんだね。

定価×0.4＝1400円

⇒ 定価＝3500円

できました☆

定価3500円で売ると1800円の利益があるんだから、原価（仕入れ値）は

3500円－1800円＝1700円

よって、答えは1700円となる。

下記に式をまとめてみると

□×15＝△×20

（□は40％値引きの1個あたりの利益、△は1500円値引きの1個あたりの利益）

⇒ □：△＝4：3

⇒ □＝④、△＝③

⇒ ③＝1800－1500＝300円

⇒ ①＝100円、④＝400円

定価×0.4＝1800－400＝1400円

⇒ 定価＝3500円

原価＝3500－1800＝1700円

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やりとり算。

【 問題 】４年生向け

A君は1000円持ってます。B君が自分の所持金の20％をA君にあげると、B君の所持金はA君の所持金の1.5倍になりました。B君の初めの所持金は何円ですか。

【 解答 】

初めのB君の所持金を⑤とおけると良いね。だって、20％＝0.2倍なんだから⑤とおくと⑤×0.2＝①をあげたことになる、そう、あげたお金も整数値でいけるから⑤とおくのが良いんだ。

A君＝1000円　B君＝⑤

B君がA君に20％をあげると

A君＝1000＋①　B君＝④

になる。

この後なんだけど、受験算数では、内項の積＝外項の積が使えると強い。

たとえば、30：60＝1：2 ⇒ 60×1＝30×2＝60が成り立つね。

内側同士の積と外側同士の積は等しいんだ、これを内項の積＝外項の積という。

B君がA君の1.5倍ということはA：B＝2：3てことだ。

つまり

1000＋①：④＝2：3

と立式できる。ここで内項の積＝外項の積を使うと

⑧＝3000＋③

⇒ ⑤＝3000

⇒ ①＝600

となる。

できました☆

（①＝600だから）

B君の初めの所持金は⑤＝3000円となる。

確認すると

A君＝1000円　B君＝3000円

B君がA君に20％をあげると

A君＝1600円　B君＝2400円

になって

A君：B君＝1600：2400＝2：3

になって、ちゃんとB君がA君の1.5倍になってるね。

よって、答えは3000円となる。

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中学受験は先行逃げ切り。

名古屋の中学受験算数は仕上がりが遅い。

６年生の９月になって、例えばいきなり東海中学の算数過去問をやったところで、優秀な一部の生徒を除いてはほとんど何も解くことができない。

東海中学の算数はとても難しいので、それまで標準的な問題にしか触れてこなかった普通の生徒では対応ができないんだ。

比較的余裕のある２～４年生で、１年前倒しをしながら勉強をするのが一番の得策だと思う。

６年生になった段階でひと通りすべての算数の単元が終わっていれば、過去問対策も余裕をもって丁寧にできるし、今までの不得手な単元の復習にも時間を充てられる。

一部の優秀な生徒は何をやっても大丈夫、そうでない大多数の生徒は相応の策を練って勝負しよう！！！

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小学生目線での算数の解説

プロは違うぜ！の気持ちで書いていきます。

よろしくお願いします。

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