【 問題 】４～５年生向け
Aは1～2025の整数を掛け合わせた数です。
A＝1×2×3×・・・×2023×2024×2025
Aを2025で割っていくと□回目までは商が整数で割り切れ、□＋1回目で商が整数でなくなり割り切れなくなりました。□にあてはまる数字はいくつですか。
【 解答 】
インフルとかマイコプラズマとか注意、警戒してても罹ってしまう。だからこそ、勉強できるときに勉強時間を稼いでおくんだ。勉強はコントロールできる、調子が良いときはいつもよりガンガン勉強して、勉強できないときのために備えをしておこう。では、いきます。
2025＝3×3×3×3×5×5だから、×3が4個と×5が2個でできてる。
Aが2025で割れるためには、Aの中に×3が4個と×5が2個いるんだ。
｛×3×3×3×3×5×5｝を1セットとして、これがＡの中に2セットあれば2025で2回割れるし、10セットあれば2025で10回割れる。
Ａの中に×3と×5は何個あるんだろう？
×3から数えてみよう。
3|2025
3| 675 個
3| 225 個
3| 75 個
3| 25 個
3| 8 個
2 個
これの意味は
675個＝3の倍数の個数
⇒ ×3が675個
225個＝9の倍数の個数
⇒ ×3がさらに225個
75個＝27の倍数の個数
⇒ ×3がさらに75個
25個＝81の倍数の個数
⇒ ×3がさらに25個
8個＝243の倍数の個数
⇒ ×3がさらに8個
2個＝729の倍数の個数
⇒ ×3がさらに2個
たとえば最後の2個の729の倍数は
729＝3×3×3×3×3×3
729×2＝2×3×3×3×3×3×3
で×3が6個もある、729と729×2は3の倍数でも9の倍数でも27の倍数でも81の倍数でも243の倍数でも729の倍数でもあるから、この×3の6個を3の倍数のとこで1個、9の倍数のとこで1個、27の倍数のとこで1個、81の倍数のとこで1個、243の倍数のとこで1個、729の倍数のとこで1個、と数えているんだ。
つまり、Ａの中に×3は
675＋225＋75＋25＋8＋2＝1010個
ある。
同じように、Ａの中に×5は
5|2025
5| 405 個
5| 81 個
5| 16 個
3 個
405＋81＋16＋3＝505個
ある。
Ａの中に×3は1010個、×5は505個あることがわかった。
Ａが2025で割れるためにはＡの中に｛×3×3×3×3×5×5｝が何セットあるか調べればいい。
×3は4個、×5は2個で1セットだから
1010÷4＝252セット
505÷2＝252セット
両方とも252セットになった。セット数が一致しない場合は少ない方に合わせるんだよ。
Aの中に｛×3×3×3×3×5×5｝が252セットある。
⇒ Aは2025で252回割れる
252回目までは商が整数で割り切れて、253回目で商が整数でなくなり割り切れなくなる。
よって、答えは252となる。
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