倍数算２。

【 問題 】４年生向け

A君がB君から200円もらうと所持金の比は2：1に、A君がB君に400円あげると所持金の比は4：3になります。A君の所持金はいくらですか。

【 解答 】

算数は、同じ＝等しい＝変わらない、に着目して解くんだけど、この問題は和が変わらない（和が一定）。倍数算は変わらないものをそろえる、倍数変化算は内項の積＝外項の積、と分けた方が良いと思う。語弊を恐れず言ってしまえば、解き方なんて時間内に正確に解けるなら何でもいいんだ、でも、算数の苦手な多くの子たちには相当程度までカテゴライズして、解き方に丁寧に線引きをして、パターン化してあげないといけない。自走できるまでは手取り足取りの伴走が要るんだ。では、いきましょう。

A君とB君でやり取りしてるだけだから2人の所持金の和が変わらない、そう、和が一定なんだ。だから、和をそろえてあげる、2：1の和3と4：3の和7を最小公倍数の21にしてあげる、そう、2：1の和3には×7を、4：3の和7には×3をするんだね。すると

A＋200＝⑭

B－200＝⑦

A－400＝⑫

B＋400＝⑨

となる。⑭＋⑦＝⑫＋⑨＝㉑、和がそろってるね！

A君の所持金を出すとあるからA君に着目してみようか。

A＋200＝⑭

A－400＝⑫

ここは頑張って欲しい。⑭と⑫の差＝②はいくつだろう？同じA君の金額に、片方は200円を足して、片方は400円を引いてるのだから、その差は200＋400＝600円だ、そう、②＝600円なんだね。

②＝600円

⇒ ⑭＝4200円、⑫＝3600円

できました☆

A＋200＝4200

A－400＝3600

⇒ A＝4000円

A君の所持金は4000円と分かったから、B君も確認しておこうか。

②＝600円

⇒ ⑦＝2100円、⑨＝2700円

B－200＝2100

B＋400＝2700

⇒ B＝2300円

B君の方も数字ちゃんと合うね！

よって、答えは4000円となる。

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場合の数５。

【 問題 】５年生向け

０、２、２、５、５、５の6個の数字があります。このうち4個の数字を使ってできる4桁の整数は何通りありますか。

【 解答 】

複数枚パターンの場合分けだね。丁寧な場合分けを心掛けて。では、いきましょう。

・5を3枚使う場合

5550の並び替え ⇒ 3通り

5552の並び替え ⇒ 4通り

3＋4＝7通り

・5を2枚と2を2枚使う場合

5522の並び替え ⇒ 4×3×1/2＝6通り

・5を2枚と0、2を使う場合

5502の並び替え

⇒ 千の位が5のとき …  3×2×1＝6通り

⇒ 千の位が2のとき … 3通り

6＋3＝9通り

・2を2枚と0、5を使う場合

2205の並び替え

⇒ 千の位が2のとき … 3×2×1＝6通り

⇒ 千の位が5のとき …  3通り

6＋3＝9通り

これで全部。

できました☆

7＋6＋9＋9＝31通り

場合の数は整合性をもっての確認ができないから、小学生だけでなく中高生にとっても厄介だと思う。丁寧にやっても怖さが残るね。

よって、答えは31通りとなる。

別の解き方もやっておこう。

・0を使わない場合

5552の並び替え ⇒ 4通り

5522の並び替え ⇒ 4×3×1/2＝6通り

4＋6＝10通り

・0を使う場合

0225の並び替え

⇒ 千の位が2のとき … 3×2×1＝6通り

⇒ 千の位が5のとき …  3通り

6＋3＝9通り

0255の並び替え

⇒ 千の位が5のとき …  3×2×1＝6通り

⇒ 千の位が2のとき … 3通り

6＋3＝9通り

0555の並び替え ⇒ 3通り

9＋9＋3＝21通り

10＋21＝31通り

よって、答えは31通りとなる。

　

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売買算２。

【 問題 】５～６年生向け

商品の原価が原材料費等の高騰により50％上がったため、企業は次の2つの対応策をとりました。

• 商品の内容量を減らす等のコスト削減で高騰後の原価を20％下げる
• 定価を30％値上げする

その結果、商品100万個あたりの利益は40％増加し1億500万円になりました。値上げする前の商品1個の定価はいくらですか。

【 解答 】

ごちゃごちゃしてるから少し整理しよう。

100万個あたりの利益が1億500万円だから、1個あたりの利益は

1億500万円÷100万＝105円

これが対応策後の利益だから、対応策前の利益□円は

□×1.4＝105

⇒ □＝75円

あとは、定価が×1.3になったことと、原価が×1.5のあとに20％下げてるから×1.5×0.8＝×1.2になったこと、これ以外は問題に書いてない。

まとめると

定価が1.3倍になって、原価が1.2倍になったら、1個あたりの利益は40％増えて（1.4倍になって）75円が105円になった。

これを立式すると下のようになる。

定価－原価＝75円

定価×1.3－原価×1.2＝105円

これを解くだけ、普通の消去算だね。上の式を×1.2してあげよう。

定価×1.2－原価×1.2＝  90円

定価×1.3－原価×1.2＝105円

⇒ 定価×0.1＝15円

⇒ 定価＝150円

⇒ 150円－原価＝75円

⇒ 原価＝75円

対応策前は

定価＝150円、原価＝75円

利益＝75円

対応策後は

定価＝150×1.3＝195円、原価＝75×1.2＝90円

利益＝75×1.4＝105円

ちゃんと数字が合ってるね！

よって、答えは150円となる。

(ちなみに、原価75円が高騰で50％上がったら75円×1.5＝112.5円＝112円50銭になっちゃうね、問題には関係ないし気にしなくていいよ！)

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数の性質５。

 【 問題 】５年生向け

AとBは1以上の整数でAはBよりも大きいです。

(1) A＋B＝70とします。AをBで割ったとき商が整数になります。AとBの組み合わせを例にならってすべて書きなさい。

例：(A,B)＝(3,1)

(2) A＋B＝2025とします。AをBで割ったとき商が整数になります。AとBの組み合わせは何通りありますか。

【 解答 】

A＋B＝20で少し考えてみようか。

A>BでA÷Bが割り切れるとあるから

A÷B＝□（□は1より大きい整数＝2以上の整数）

⇒ A＝B×□

だね。すると

A＋B＝20

⇒ B×□＋B＝20（この時点で20はBの倍数でわかる、Bの倍数にBを足したらBの倍数になるね）

になる。

ここでB×□＋B＝20の左辺に着目すると、左辺の意味するところは、Bが□個とBが1個あるってことだから、全部でBが□＋1個あるんだ。Bが□＋1個あるんだから

B×（□＋1）＝20

になる。すると、20はBの倍数だよね、そう、つまり、Bは20の約数なんだ。

A＋B＝20、A÷B＝整数、A>B

⇒ Bは20の約数！

⇒ B＝1,2,4,5,10,20

⇒ (A,B)＝(19,1)(18,2)(16,4)(15,5)

ふわっとでいいからそれなりに理解して（線分図とか書いて自分なりに理解に努めてみて！）、でも結論はしっかり覚えて、数字を入れるときは気持ちも入れて、絶対にミスのないようにしよう！では、いきましょう。

(１)

A＋B＝70、A÷B＝整数

⇒ Bは70の約数！

70の約数は｛1,2,5,7,10,14,35,70｝、このうちBに入れていいのはA>Bだから、1と2と5と７と10と14になるね。

例にならって数字を入れると

(A,B)＝(69,1)(68,2)(65,5)(63,7)(60,10)(56,14)

となる。どれもA＋B＝70、A÷B＝整数になってるね！神経を研ぎ澄まして確認すること！1個もこぼしたらダメだよ！！

よって、答えは

(A,B)＝(69,1)(68,2)(65,5)(63,7)(60,10)(56,14)

となる。

(２)

A＋B＝2025、A÷B＝整数

⇒ Bは2025の約数！

2025の約数は｛1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025｝、このうちBに入れていいのはA>Bだから、2025以外の全部になるね。

よって、答えは14通りとなる。

あえて全部を書き出してみると

(A、B)

＝（2024、1）

＝（2022、3）

＝（2020、5）

＝（2016、9）

＝（2010、15）

＝（2000、25）

＝（1998、27）

＝（1980、45）

＝（1950、75）

＝（1944、81）

＝（1890、135）

＝（1800、225）

＝（1620、405）

＝（1350、675）

どれもA＋B＝2025、A÷B＝整数になってるね！

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