2025-01-31

面積4。

 【 問題 】4~5年生向け


四角形ABCDは長方形で、点E・点F・点G・点Hは長方形ABCDの辺上にあり、長方形ABCDの面積はHE、HF、HGによって4等分されています。
EF=12cm、DG=8cm、GC:FC=2:5です。
長方形ABCDの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

上に抜けてる一部の子たちは6年生が勝負、上に抜けていないほとんどの子たちは4年生5年生が勝負、算数が得意だと思えない子ほど早めに準備するんだ。では、いきましょう。


この問題は解き方が色々とありそうだけど、制限時間内に解けるなら解き方は何でもいい。力技で押していってもいいし、消去算みたいに解いてもいいし、テストのときに誘導があるなら誘導に乗っていけばいい。

たとえば、6年生がこの問題を見てすぐにBC=EF×2=24cmとかGC=②⇒BE=②×12/8=③とかわかったら立派、よく見えてる。でも、スマートに解いても泥臭く解いても点数は同じなんだから、すぐにわからなくても簡単にあきらめず悩みながら取り組んで欲しい。


ここでは、まず△HEFと△HGDに着眼する。

なぜなら、4つの図形(台形、三角形、四角形、直角三角形)の中で同じ三角形同士で比較しやすいし、EF=12cm、DG=8cmと分かってる。だから、ここから攻める。


△HEFの面積=△HGDの面積

⇒ 12cm×AB× 1/2 = 8cm×HD× 1/2

AB:HD=2:3


ここ一番大事だね。そう、逆比。

ABとHDの長さの比、AB:HD=2:3、が分かった。

次なんだけど、ここで鉄則がある。


鉄則5.

長方形の面積を一直線で二等分する

⇒ 2つの図形は合同になる


HFで長方形は二等分されてる。ということは、台形ABFHと台形CDHFは全く同じ図形、そう、合同だね。

左右2つの台形は全く同じなんだから


AH=FC


となる。

だいぶ答えに迫ってきた。

ここまでとここから先をまとめてしまうと、下のような感じになる。



上の図を見ながらいこう。

台形ABEHの面積=四角形HFCGの面積

ここに着目してみる。

AH=FC=⑤、だから、△AEHの面積と△HFCの面積は等しい


△AEHの面積=△HFCの面積

台形ABEHの面積=四角形HFCGの面積

△ABEの面積=△HCGの面積


になるね。

AB:HD=2:3、だった。ここを押さえて△ABEと△HCGを攻める。


△ABEの面積=△HCGの面積

AB:HD=2:3

BE:GC=3:2


となる。そう、ここでも逆比だね。


GC=②

BE:GC=3:2

BE=③


できました☆


台形ABEHの面積=△HEFの面積

⇒ 上底 + 下底 = 底辺

⇒ AH + BE = EF

⇒ ⑤ + ③ = 12cm

①=1.5cm


BE=③=4.5cm

EF=12cm

FC=⑤=7.5cm

BC=4.5+12+7.5=24cm

DG=8cm

GC=②=3cm

DC=8+3=11cm


長方形ABCDの面積

= たて × 横

= DC × BC

11cm × 24cm = 264㎠


となる。

AH=FC、HD=BF、AH+BE=EF、EFはBCの半分の長さ、全部の整合性を確認するんだよ!

よって、答えは264㎠となる。


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2025-01-30

数の性質13。

 【 問題 】5年生向け

A社は2025年で創立100周年を迎えます。

2025年は令和7年ですが、もし昭和が続いていたとしたら2025年は昭和100年になります。

2025年を西暦、昭和や令和を和暦と言います。

もし仮に昭和が続いていたとして、昭和2年~昭和100年の間に、西暦と和暦の最大公約数が1となる年は何回ありますか。

たとえば、令和であれば、2020年は令和2年で2020と2の最大公約数は2、2021年は令和3年で2021と3の最大公約数は1となります。


【 解答 】

2025-100=1925

1925=5×5×7×11

100÷5=20

100÷7=14

100÷11=9

100÷35=2

100÷55=1

100÷77=1

20+14+9-(2+1+1)=39

99-39=60回


前にやった問題と同じだね( Read more » cf.数の性質3 )。では、いきましょう。


西暦と和暦の関係で変わらないものがある、そう、差だ。2025年が昭和100年だから、西暦と昭和の差は1925、これはどの年でも変わらない。


西暦-昭和=1925


この変わらない差の1925に着目する。


1925=5×5×7×11


差の1925は5の倍数でもあり7の倍数でもあり11の倍数でもある。

そう、つまり、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数であると最大公約数が1ではなくなってしまう。

具体的な数字で確認してみよう。


昭和5年=西暦1930年

⇒ 最大公約数=5

昭和7年=西暦1932年

⇒ 最大公約数=7

昭和10年=西暦1935年

⇒ 最大公約数=5

昭和11年=西暦1936年

⇒ 最大公約数=11

昭和35年=1960年

⇒ 最大公約数=35


昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数だと最大公約数が1ではなくなる。

そう、たとえば、A-B=5の倍数だとすると、Bが5の倍数であればAも5の倍数になるってことなんだ。


西暦-昭和=1925

⇒ 西暦-昭和=5の倍数

⇒ 西暦-昭和=7の倍数

⇒ 西暦-昭和=11の倍数


1925は5の倍数、7の倍数、11の倍数だから、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数だと西暦も5の倍数、7の倍数、11の倍数になって、最大公約数が1ではなくなる。


できました☆


昭和2年~昭和100年から、昭和が5の倍数、7の倍数、11の倍数であるものを取り除いてあげると、西暦と和暦の最大公約数が1のものが残る。


昭和が5の倍数

⇒ 100÷5=20回

昭和が7の倍数

⇒ 100÷7=14回

昭和が11の倍数

⇒ 100÷11=9回


これらは全て最大公約数が1ではない。


20+14+9=43回


これが全部なんだけど、油断してはいけない、重複がある。重複分は引いてあげないといけない。


35の倍数(5の倍数と7の倍数の重複)

⇒ 100÷35=2回

55の倍数(5の倍数と11の倍数の重複)

⇒ 100÷55=1回

77の倍数(7の倍数と11の倍数の重複)

⇒ 100÷77=1回


43-2-1-1=39回


この39回は最大公約数が1ではない。昭和2年~昭和100年は99回だから


99-39=60回


この60回が最大公約数が1なんだね。

よって、答えは60回となる。


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2025-01-29

面積3。

 【 問題 】4年生向け


三角形ABCは直角二等辺三角形で、AB=BC=12cmです。
点Dは辺BC上にあり、BD=4cmです。
点Eは辺AC上にあり、∠ADE=90°です。
三角形ADEの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

中学受験の勉強はやったモン勝ちの要素が強い。上に抜けている子たち以外はなるべく早め早めの取り組みが功を奏すると思う。では、いきましょう。


面積の問題だけでなく場合の数なんかでもそうなんだけど、直接求めにいった方がいいのか、全体から引いて出した方がいいのか、そこは判断しなければいけない。

この問題の場合は、直接求めにいっても全体から引いても計算量やかかる時間やミスの誘発などに大差はないので、その時に選んだ方法で攻めればいいと思う。ここでは、全体から引く方法で攻めてみる。

△ABCと△ABDの面積はわかる。


△ABCの面積

= 12×12× 1/2 = 72㎠

△ABDの面積

= 4×12× 1/2 = 24㎠


△ADEの面積を出したい。


△ADEの面積

= △ABC-△ABD-△EDC


△ADEの面積が出せるなら、△EDCの面積が出せるはず。ここが大事、補助線を引く際の鉄則になる。


鉄則3.ここの長さが出せるはず


△EDCの面積は出せるはずで、底辺DCの長さは8cmと分かってる。ということは、△EDCの高さが出せるはずなんだ。だから、Eから真っ直ぐ垂線をおろして高さを作ってあげる。


ここの長さが出せるはず

⇒ 補助線を引く

補助線EF(= EからDCへの垂線)を引くと上図のようになる。

ここでも大事なことがある。


鉄則4.90°が入り込んだら直角三角形の相似ができる


そう、90°が入り込んでるから△ABDと△DFEの2つの直角三角形は相似なんだ。

AB:BD=3:1だから、DF:FEもDF:FE=3:1になる。

△ABCと△EFCも相似だ。

AB:BC=1:1だから、EF:FCもEF:FC=1:1になる。


できました☆


DF:FE=3:1

EF:FC=1:1

⇒ DF:FC=3:1、EF=FC


DC=8cm

⇒ FC=8× 1/4=2cm

⇒ FC=EF=2cm


△EDCの面積

= 8×2× 1/2 = 8㎠


△ADEの面積

= △ABC-△ABD-△EDC

= 72-24-8 = 40㎠


見えない線を頭の中で描けるように!

よって、答えは40㎠となる。


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2025-01-28

面積2。

 【 問題 】4年生向け


四角形ABCDは辺ADと辺BCが平行な台形で、AD=3cm、BC=5cm、台形の高さは4cmです。
対角線AC上に点Eがあり、三角形ABEと三角形DECの面積の比は3:1です。
三角形AEDの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

見えない線を頭の中で描けるといいね。では、いきます。

台形の面積はわかる。

台形の面積

= (3+5) × 4 × 1/2 = 16㎠

ここで手が止まってしまったら鉄則を思い出そう。


鉄則2.平行線があれば相似を疑う


平行線にXを書けば相似ができる。



DBに補助線を引く。

補助線とは、見えなかったものを見えるようにしてくれる線のことだ。

DBに線を引くことで見えなかった相似が見えた。


△AFDと△CFBは3:5の相似

DF:FB=3:5


ここで△DBCに着目する。

CFは△DBCを3:5に分ける線だ。


△DFCの面積:△FBCの面積=3:5

△DFEの面積:△FBEの面積=3:5

△DECの面積:△EBCの面積=3:5


全部が3:5になる。図を見ながら確認する。


△DECの面積=③

△EBCの面積=⑤

とする。

△DECと△ABEの面積比は1:3と問題に書いてあるから、△DECの面積=③、とおくと、△ABEの面積=⑨となる。

まとめると下のようになる。



できました☆

△ABEの面積:△EBCの面積=9:5

AE:EC=9:5


そう、等高三角形だね。

AE:EC=9:5だから、△ACDの面積の9/14倍が△AEDの面積になる。


△ACDの面積

= 3×4× 1/2=6㎠

△AEDの面積

= △ACDの面積× 9/14

= 6× 9/14 = 27/7㎠


となる。

見えない線を頭の中で描く練習をするんだよ。

よって、答えは27/7㎠となる。


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2025-01-27

面積1。

 【 問題 】4年生向け


四角形ABCDは長方形です。
辺BC上に点Eがあります。
EC=5cm、DC=12cm、DE=13cmで、AD=AEです。
三角形ABEの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

ここでは補助線を内側に引いて攻めてみる。では、いきましょう。

△AEDは二等辺三角形だ。
もしも、手が動かず何もできなさそうで困ったら


鉄則1.二等辺三角形を見たら頂角から垂線を引く


をやってみよう。
頂角AからDEに垂線をおろす。


垂線がDEと交わった点をFとすると


DF=FE


になるね。二等辺三角形だからだよ。

ちなみに、補助線とは文字どおり補って助けてくれる線のことだけど、それ以上に、補助線とは


見えなかったものを見えるようにしてくれる線


のことだ。

この問題でいうと、AFは見えなかったものを見えるようにしてくれたね。

△ECDと△DFAに着目する。

△ECDと△DFAにおいて、二角相当により


△ECDと△DFAは相似


になる。

△ECDは5:12:13の三角形だから、△DFAも5:12:13の三角形だ。


DE=13cm
⇒ DF=13× 1/2=6.5cm

DF=6.5cm
⇒ AD=6.5× 13/5=16.9cm

AD=16.9cm
⇒ BE=16.9-5=11.9cm


できました☆


△ABEの面積
= 11.9×12× 1/2 = 71.4㎠


となる。

△AEDの面積は長方形の半分だとか、△ABE+△ECD=△AEDだとか、当たり前を確認しよう。

よって、答えは71.4㎠となる。



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2025-01-26

数の性質12。

【 問題 】4年生向け

整数Aの約数を全部かけ合わせた数字をBとします。BをAで▢回割ったところ商が45になり、▢+1回割ると商が初めて整数でなくなりました。

B÷A÷A÷・・・÷A=45

Aはいくつですか。また、▢に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

A=45×45=2025
2025の約数={1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025}
B=1×2025×3×675×5×405×9×225×15×135×25×81×27×75×45
B÷A÷A÷A÷A÷A÷A÷A=45
▢=7


適当な数字をあてはめて確認してみよう。では、いきます。

適当な数字でやってみる。


A=10だとどうだろう。
Aの約数は{1,2,5,10}だから、B=1×10×2×5=10×10になるね。
そう、BはA=10で2回割れて商が1になる。

A=12だとどうだろう。
Aの約数は{1,2,3,4,6,12}だから、B=1×12×2×6×3×4=12×12×12になるね。
そう、BはA=12で3回割れて商が1になる。

A=30だとどうだろう。
Aの約数は{1,2,3,5,6,10,15,30}だから、B=1×30×2×15×3×10×5×6=30×30×30×30になるね。
そう、BはA=30で4回割れて商が1になる。


そうなんだ、約数の個数が偶数個だと商が1になるんだ。割れる回数は、約数の個数÷2回、だね。

では、約数の個数が奇数個だとどうなるんだろ?約数の個数が奇数個の整数は平方数だ。

適当な平方数でやってみる。


A=3×3=9だと、Aの約数は{1,3,9}だから、B=1×9×3になるね。
そう、BはA=9で1回割れて商が3になる。

A=4×4=16だと、Aの約数は{1,2,4,8,16}だから、B=1×16×2×8×4になるね。
そう、BはA=16で2回割れて商が4になる。

A=6×6=36だと、Aの約数は{1,2,3,4,6,9,12,18,36}だから、B=1×36×2×18×3×12×4×9×6になるね。
そう、BはA=36で4回割れて商が6になる。


そうなんだ、約数の個数が奇数個だと▢×▢=Aの▢が商になるんだ。割れる回数は、(約数の個数-1)÷2回、だね。

できました☆


B÷A÷A÷・・・÷A=45
⇒ A=45×45=2025


A=2025の約数は数えると15個あって、それらを全部かけ合わせるとBになる。

B=1×2025×3×675×5×405×9×225×15×135×25×81×27×75×45

BをAで割ると、(15-1)÷2=7回割れて、商が45になる。

よって、答えはA=2025▢=7となる。


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2025-01-25

割合と比5。

 【 問題 】4年生向け

M社のお菓子Aは価格と内容量の見直しが定期的に同時に行われ、3年連続で価格が値上がりし内容量が減りました。価格の値上げは、その前の年と比べて一昨年が12%、去年が17%、今年が26%の値上げ率でした。内容量の減少は、その前の年と比べて一昨年が4%、昨年が9%、今年が16%の減少率でした。一昨年の値上げ前のAは内容量100gあたり160円でした。今年の値上げ後のAは内容量100gあたり何円ですか。


【 解答 】

大人にとっては簡単だけど、計算に自信のない小学生にはけっこうきつかったりする。計算はやればやるほどミスが減るってわけでもないし、計算演習にそんなに時間を割くわけにもいかない。文章題の中でも計算演習をする、面倒そうな計算ほど丁寧に取り組んで、自分の中の計算過程が「見える」ようになって欲しい。では、いきます。


問題自体はすごく単純で、値段が上がって量が減っただけのことだね。

4年生向けと考えて、ここでは、100g=160円、をベースに考えようか。

一昨年の値上げ前の内容量と価格を100g=160円とする。

この100gは3回連続で減ってるし、160円は3回連続で高くなってる。

100gは今年の減少後、何gになったかというと


100×0.96×0.91×0.84 g


になったんだ。

計算したらダメだよ、大変過ぎるからね、そのままおいておくんだ。

160円は今年の値上げ後、何円になったかというと


160×1.12×1.17×1.26 円


になったんだ。

これも計算したらダメだよ、面倒過ぎるからね、そのままおいておくんだよ。

まとめると


100×0.96×0.91×0.84

= 160×1.12×1.17×1.26 円


となる。

100gあたりの値段を出したいのだから、160×1.12×1.17×1.26円を0.96×0.91×0.84で割ってあげればいい。

できました☆


100g

= 160×1.12×1.17×1.26 / 0.96×0.91×0.84 

= 360円


丁寧に約分するんだよ!四捨五入せよとか書いてないから、きれいに約分できるはず!と思って約分するんだ。

よって、答えは360円となる。


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2025-01-24

速さ9。

 【 問題 】4~5年生向け

Aさんの計画では駅から美術館までの道のりを一定の速さで歩く予定でした。しかし、駅から150mのところにある商店街のアーケード入口を通過したところ、アーケード内の混雑によりアーケード内では歩く速さが1/3に制限され、アーケード出口の地点では予定より20分の遅れでした。アーケード出口の地点ではまだ全体の1/4の距離しか進んでおらず、小雨も降り始めたため計画を断念しました。残りの距離はタクシーを使うことにし、タクシーに5分乗って予定よりも10分早く美術館に着きました。駅から美術館までの距離は何kmですか。ただし、タクシーの待ち時間はなかったものとします。


【 解答 】

③-①=②=20分

⇒ ①=10分

5+30=35分

35×1/3=35/3分

35/3-10=5/3分

A×5/3=150m

⇒ A=90m/分

150+90×45=4200m=4.2km


問題文がしつこいけど大したことは書いてない。比を使いこなせると簡単だね。では、いきましょう。

線分図を書いてしまうと下のような感じになる。

押さえるべき点が3点。


1点目、アーケードで20分遅れた

⇒ 予定では10分のところ実際は30分

2点目、タクシーに5分乗った

⇒ タクシーで5分の距離は歩きだと5+30=35分

3点目、駅からアーケード出口の距離は全体の1/4

⇒ 駅からアーケード出口まで歩きだと35分×1/3


線分図を書いたら、この3点を目と頭で追って欲しい。

なんで20分遅れたのか、タクシーで何分遅れを取り戻したのか、これらは手を動かすよりも目と頭を動かして考えることだ。


1点目。

アーケード内で速さが1/3になるとアーケード内でかかる時間は3倍になる、そう、逆比だね( Read more » cf.速さ1 )


予定の時間=①とおくと実際の時間=③、この差の②が20分なんだ。


②=20分

⇒ ①=10分、③=30分


実際に30分かかったアーケードは、予定どおり歩くと10分かかる。


2点目。

アーケード出口の地点で20分遅れていたのが、タクシーを使ったら10分早く着いた。そう、タクシーに乗ることで20+10=30分を挽回できたんだ。ということは、タクシーで5分の距離は、もし予定どおり歩いていたら5+30=35分かかったんだ。

歩くと35分の距離を、タクシーで5分で行ったから30分挽回できた、30分挽回できたから20分の遅れが10分早い到着になったんだね。


タクシーで5分の距離は、予定どおり歩くと35分かかる。


ここまでを線分図で確認する。

実際のアーケード内の30分は、予定の歩きでは10分。

実際にタクシーに乗った5分は、予定の歩きでは35分。


3点目。

駅からアーケード出口の距離は全体の1/4と問題にある。そう、つまり、駅からアーケード出口までの距離とアーケード出口から美術館までの距離の比は1:3なんだ。

ということは、駅からアーケード出口までの時間とアーケード出口から美術館までの時間の比も1:3になる。


駅からアーケード出口までの歩きでの時間

= 35分×1/3

= 35/3分


駅からアーケード出口までは、予定どおり歩くと35/3分かかる。


できました☆


この35/3分からアーケード内にかかる10分を引いてあげれば、最初の150mにかかる歩きの時間がわかる。


35/3-10=5/3分


この5/3分でAさんは150m進むんだから、Aさんの速さは


A×5/3=150

A=90m/分


となる。

駅から美術館までの距離は、最初の150mに45分の歩きでの距離を足してあげればいいから


駅から美術館までの距離

= 150+90×45

= 4200m

= 4.2km


となる。

ちなみに


アーケードの長さ

=90×10=900m

アーケード内での実際に歩いた速さ

=90×1/3=30m/分

タクシーに乗った距離

=90×35=3150m

タクシーの速さ

=3150÷5=630m/分


まとめると

Aさんは最初の150mは予定どおりに90m/分で歩いて、アーケードの900mは混んでたから30m/分で歩いて、そこからは計画を断念して、残りの3150mは630m/分のタクシーに5分乗って、予定より10分早く美術館に着いたんだ。


よって、答えは4.2kmとなる。


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2025-01-23

場合の数12。

 【 問題 】5~6年生向け

0、1、3、8、9の5つの数字を1回ずつ使うと異なる3桁の整数が48個作れます。この48個の整数の和はいくつですか。


【 解答 】

(0+1+3+8+9)÷5×111×60-(1+3+8+9)÷4×11×12

=21×111×12-21×11×3

=21×433×3

=27279


上の解き方は小学生が使いこなすには難しいと思うけど、数字に強い子は各々の解き方できちんと正解に辿り着いてくる。解き方は何でも構わない、この問題は拾わないといけない問題だ。数字に強くない子は、場合の数がある程度スムーズに解けるようになってからトライしてみよう。では、いきます。


百の位に0は使えないんだけど、今回ここでは、無理やり使えるとして計算する。百の位に0が使えるとすると、作れる3桁の整数は48個ではなくて5×4×3=60個になる。

この60個の3桁の整数の和において、前回の平均×個数の考え方を使う( Read more » cf.場合の数11 )


(0+1+3+8+9)÷5×111×60


でも、この60個のうち、百の位が0の4×3=12個は本当はないんだ。計算の便宜上、勝手に60個を作ったんだけど、百の位が0の12個は本当は存在しない、だから、さっきの60個の和から百の位が0の12個の和を引いてあげないといけない。

百の位が0の12個の和は、百の位は0なんだから、十の位と一の位の2桁の整数の和を考えてあげればいい

0百のあとの十の位と一の位に使える数字「1、3、8、9」を足して÷4をして平均を出す、その平均の数字に×11をして0百のときの2桁の整数の平均を出す、その2桁の整数の平均に×12をしてあげれば百の位が0の12個の整数の和が出せる。


(1+3+8+9)÷4×11×12


無理やり0百を作って60個の整数の和を出す、でも、0百なんてないんだから、0百の12個の整数の和を引いてあげる。0百の整数は百の位が0なんだから、十の位と一の位の2桁の整数の和を考えてあげればいい。


できました☆


(0+1+3+8+9)÷5×111×60-(1+3+8+9)÷4×11×12

=21×111×12-21×11×3

=21×433×3

=27279


理解さえできれば抜け落ちや数えミスの心配が少なく使い勝手は良いと思う。理解して納得して覚えてしまおう。

よって、答えは27279となる。


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2025-01-22

場合の数11。

 【 問題 】4年生向け

1、▢、9の3つの数字を1回ずつ使うと異なる3桁の整数が6個作れます。この6個の整数の和が3774のとき、▢はいくつですか。


【 解答 】

(1+▢+9)÷3×111×6=3774

⇒ (1+▢+9)×2=34

⇒ 1+▢+9=17

⇒ ▢=7


具体的な数字で式の意味を理解しよう。では、いきます。


たとえば、1、2、9の数字で3桁の整数を作ってみる。

129、192

219、291

912、921

6個作れるね。

この6個の整数の平均は444だ。この平均の444が先にわかってしまえば、444×6で6個の和が出せる。この444が先に欲しい、どうやったらわかるのか?

この444の4は3つの数字「1、2、9」の平均なんだ。

(1+2+9)÷3=4、この4が444の4。

そう、つまり、3つ数字の平均を出して×111をすれば3桁の整数の平均になる。

だって、百の位にも十の位にも一の位にも1と2と9は同じ回数ずつ使われているでしょ、つまり、どの位も平均すると4になる、だから6個の3桁の整数の平均は1と2と9の平均の4に×111をした444になるんだ。

この平均を使うと、1、2、9の数字で作れる3桁の6個の整数の和は


(1+2+9)÷3×111×6=2664


となる。

3つの数字を足して÷3をして平均を出す、その平均の数字に×111をして3桁の整数の平均を出す、その3桁の整数の平均に×6をしてあげれば6個の整数の和が出せる。

できました☆


1、▢、9の平均は


(1+▢+9)÷3


これに×111をして3桁の整数の平均にする。


(1+▢+9)÷3×111


6個の整数の和を出すには、この3桁の整数の平均に×6をすればいい。


(1+▢+9)÷3×111×6


これが、3774になる。


(1+▢+9)÷3×111×6=3774

⇒ (1+▢+9)×2=34

⇒ 1+▢+9=17

⇒ ▢=7


1、7、9で使れる3桁の6個の整数の和は3774になるんだね。ただ、数字に0が入るとこの平均を使った解き方はこのままでは適用できない、なぜなら、百の位に0は使えないからだね。0が入る場合はまた今度やろう。

よって、答えは7となる。


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2025-01-21

数の性質11。

 【 問題 】3~4年生向け

【 解答 】

さすがに通分はできないね。問題ごとにある程度パターン化しながら攻め方を考えていこう。では、いきます。


16/81 < ▢/64 < 9/25


この▢にあてはまる数を探せばいい。既約分数とあるから▢には奇数が入るね。

分母の81、64、25の通分は数が大き過ぎてできない。そういうときは分子を攻める。

分子を無理やり1にしてあげよう。


1/5.06… < ▢/64 < 1/2.77…


81÷16=5.06…25÷9=2.77…くらいは暗算で言えるようにね!

ここからは▢に適当な数字をあてはめていけばいい。

たとえば、▢=9なら、9/64=1/7.1…となるから不適だ。そう、64を▢で割った数字が2.78~5.06の範囲に入ればいいんだ。

▢は奇数だから、11から丁寧にあてはめていこう。


▢=11のとき

11/64=1/5.8…、✖

▢=13のとき

13/64=1/4.…、◯

▢=15のとき

15/64=1/4.…、◯

▢=17のとき

17/64=1/3.…、◯

▢=19のとき

19/64=1/3.…、◯

▢=21のとき

21/64=1/3.…、◯

▢=23のとき

23/64=1/2.78…、◯

▢=25のとき

25/64=1/2.5…、✖


この計算も素早く正確にね!ダラダラ計算してたら実りは少ないよ!

できました☆


▢=13、15、17、19、21、23だから、既約分数の和は


13/64+15/64+17/64+19/64+21/64+23/64

= 108/64

27/16


となる。

分母が通分できないときは分子を攻めてみる!

よって、答えは27/16となる。


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2025-01-20

数の性質10。

 【 問題 】4年生向け

1個80円のみかんと1個330円のりんごを9100円になるように買います。みかんとりんごの個数の合計が最も少ないとき、みかんとりんごの個数の合計は何個ですか。


【 解答 】

式を作って根気よくあてはめていく。では、いきましょう。


みかんとりんごの個数がわからないのに式が1つしか作れない。未知数が2個なら式は2つないと答えが1通りに定まらない。

これを条件不足のつるかめ算とか不定方程式という。

問題を見ると作れる式は次の1つだけ。

▢をみかんの個数、△をりんごの個数とすると


80×▢+330×△=9100


これ以外は何も問題に書いてない。▢と△がわからない、2個の未知数があるのに式は1つしか作れない。この場合は、あてはめで解くしかない。

なるべく数字を簡単にしてからあてはめに入ろう。


80×▢+330×△=9100

8×▢+33×△=910


そう、10で割って簡単にしたんだ。

ここからあてはめをする。数字が大きい33×△の方から攻めてみる。

8×▢も910も偶数だから、33×△も偶数になる。だから、△=2からあてはめてあげる。


△=2のとき

8×▢+66=910

⇒ 8×▢=844

⇒ ▢=105.5

▢はみかんの個数だから整数なのに、整数でないからダメ


△=4のとき

8×▢+132=910

⇒ 8×▢=778

⇒ ▢=97.25

▢はみかんの個数だから整数なのに、整数でないからダメ


△=6のとき

8×▢+198=910

⇒ 8×▢=712

⇒ ▢=89

やった!整数になった。

できました☆


8×▢+33×△=910

⇒ (▢、  △)

= (89、  6)

= (56、14)

= (23、22)


(▢、△)=(89、6)とわかったから、ここから▢を33減らして△を8増やしていくんだ。

だって、8を×33減らして33を×8増やしたらプラスマイナスゼロで910は変わらないでしょ。そう、1組の▢と△を見つけたらあとは一気に全部の数字が分かるんだね。


(▢、△)=(89、6)、(56、14)、(23、22)


このうち、みかんとりんごの個数の合計=▢+△が最も少ないのは


(▢、△)=(23、22)

⇒ ▢+△=23+22=45個


だね。

80×23個+330×22個=9100円、ちゃんと数字も合ってる!


よって、答えは45となる。


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2025-01-19

日暦算5。

 【 問題 】3~4年生向け

年中無休のスーパーマーケットに、Aさんは2日おきに、Bさんは4日おきに買い物に行きます。また、2人が同じ日に買い物に行くときは一緒に行きます。

2人は2025年1月19日の日曜日に一緒に買い物に行きました。この日以降で、はじめて2人が水曜日に一緒に買い物に行くのは2025年の何月何日ですか。

ただし、2日おきに買い物に行くとは、1月19日の次は1月22日に買い物に行くことを意味します。


【 解答 】

2日おき=3日ごと、日本語は難しいね。では、いきましょう。


Aさんは2日おき=3日ごと、Bさんは4日おき=5日ごとだから、最小公倍数は15日ごとだね。15日ごと=15日後に一緒になる。


日曜日が水曜日になるのだから3曜日ずれる、15日ごとに1曜日ずれるから15日×3=45日ごと=45日後が一緒の買い物の日で水曜日になる( Read more » cf.日暦算1 )

できました☆


1/19+45
= 1/64
= 2/33
= 3/5


1月19日(日)の45日後は3月5日(水)だね。

よって、答えは3月5日となる。


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2025-01-18

やりとり算2。

 【 問題 】4年生向け

金属製容器A、B、Cには灯油が入っています。Aに入ってる灯油の量の1/4をBに移します。AからBに移した後、Bに入ってる灯油の量の1/5をCに移します。BからCに移した後、Cに入ってる灯油の量の1/7をBに移します。CからBに移した後、Bに入ってる灯油の量の1/3をAに移します。その結果、Aに入ってる灯油の量は最初よりも11L増えて、A、B、Cの灯油の量は等しくなりました。Bには最初、何Lの灯油が入っていましたか。


【 解答 】

やりとりが多い場合は後ろから逆算していった方が計算が楽になることが多い。では、いきましょう。


最後のやりとりは「Bの1/3をAに移す」だから、B=③とおいて逆算に入る。


A ① → ②

B ③ → ②

C ② → ②   


③×1/3=①をAにあげてB=②になった、最後のBが②なら最後はみんな等しいのだからAもCも②だ。Aは①をもらって②になったのだから、もらう前は①だね。

戻っていくと、Cは1/7をBにあげて残りが②になった、そう、つまりC×6/7=②なんだ。

これを計算するとC=7/3で分数になる、このままやっても全然良いのだけど、ここでは敢えて分数を避けるために、ここまでの数字を全部×3をする、Cも7/3×3=⑦にしてあげる


A ③ → ③ → ⑥

B ⑧ → ⑨ → ⑥

C ⑦ → ⑥ → ⑥


Cは⑦×1/7=①をBにあげて⑥になった、Bは①をもらって⑨だからもらう前は⑧だね。

さらに戻っていくと、Bは1/5をCにあげて残りが⑧になった、そう、つまり、B×4/5=⑧なんだ。

これを計算するとB=⑩になる。


A ③ → ③ → ③ → ⑥

B ⑩ → ⑧ → ⑨ → ⑥

C ⑤ → ⑦ → ⑥ → ⑥


Bは⑩×1/5=②をCにあげて⑧になった、Cは②をもらって⑦だからもらう前は⑤だね。

あと1回戻れば完結だね。

Aは1/4をBにあげて残りが③になった、そう、つまり、A×3/4=③なんだ。

これを計算するとA=④になる。


A → ③ → ③ → ③ →

B → ⑩ → ⑧ → ⑨ →

C → ⑤ → ⑦ → ⑥ →


Aは④×1/4=①をBにあげて③になった、Bは①をもらって⑩だからもらう前は⑨だね。


できました☆


Aは④から⑥に増えてる、この差の②が11Lなんだ。最初のBは⑨だから


②=11L

⇒ ⑨=49.5L


となる。

最初の灯油の量はA:B:C=4:9:5だったんだ。やりとりしてるだけだから最初の和=④+⑨+⑤=⑱、最後の和=⑥×3=⑱、どちらも同じだね。確認できると良いね。

また、④×1/4=①、⑨+①=⑩、⑤はそのまま、、、と問題文のとおり頭から順々に確認して欲しい。


よって、答えは49.5Lとなる。


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2025-01-17

場合の数10。

 【 問題 】4年生向け

(1) 1円玉が4枚、10円玉が4枚、100円玉が2枚、500円玉が2枚、2000円札が2枚、5000円札が2枚あります。これらの硬貨・紙幣の一部または全部を使って支払える金額は何通りありますか。但し、0円は含めません。

(2) 5円玉が2枚、10円玉が3枚、50円玉が2枚、100円玉が3枚、1000円札が4枚、10000円札が4枚あります。これらの硬貨・紙幣の一部または全部を使って支払える金額は何通りありますか。但し、0円は含めません。


【 解答 】

(1) 5×5×3×3×3×3-1=2024通り

(2) 9×9×5×5-1=2024通り

(1)は重複なし、(2)は重複ありの問題だね。では、いきましょう。


(1)

それぞれの硬貨、紙幣で支払える金額を書き出す。


【 1円玉×4枚 】

0円、1円、2円、3円、4円の5通り

【 10円玉×4枚 】

0円、10円、20円、30円、40円の5通り

【 100円玉×2枚 】

0円、100円、200円の3通り

【 500円玉×2枚 】

0円、500円、1000円の3通り

【 2000円札×2枚 】

0円、2000円、4000円の3通り

【 5000円札×2枚 】

0円、5000円、10000円の3通り


それぞれの硬貨、紙幣で支払える金額に重複がないね、金額が全部バラバラ。

この場合は、それぞれの通り数を掛けてあげて、0円を除くとあるから-1(全部0円を選んだ場合の1通りを引く)をすればいい。

できました☆


5×5×3×3×3×3×-1=2024通り


たとえば、1円玉から順に、2円、10円、200円、0円、0円、5000円を選んだら5212円になるし、4円、40円、100円、500円、4000円、0円を選んだら4644円になる。最高金額は4円、40円、200円、1000円、4000円、10000円を選んだ15244円だね。

これらが全部0円を選んだ場合を除くと2024通りあるんだ。


よって、答えは2024通りとなる。


(2)

これは注意がいる。たとえば、5円玉を2枚選んだ場合も10円玉を1枚選んだ場合も同じ10円だ、金額が重複する場合は(1)の解き方ができない。では、どうするか?そう、重複のある硬貨を両替するんだ。


【 5円玉×2枚 】

0円、5円、10円

【 10円玉×3枚 】

0円、10円、20円、30円

【 50円玉×2枚 】
0円、50円、100円

【 100円玉×3枚 】

0円、100円、200円、300円

【 1000円札×4枚 】

0円、1000円、2000円、3000円、4000円

【 10000円札×4枚 】

0円、10000円、20000円、30000円、40000円


このままでは(1)のように掛け算ができない。

なぜなら、たとえば、5円玉から順に10円、20円、0円、0円、0円、0円を選んだ場合と、0円、30円、0円、0円、0円、0円を選んだ場合とが同じ金額になって重複するからだ。他にも重複がたくさん出てしまう。重複があると同じ金額は1通りなのに2通りと数えてしまうからダメなんだ。


金額が重複する場合は、重複のある大きい硬貨を両替してあげる。


今回の場合は


10円玉3枚を5円玉6枚に両替(5円玉は全部で8枚)

100円玉3枚を50円玉6枚に両替(50円玉は全部で8枚)


両替すると以下のようになる。


【 5円玉×8枚 】

0円、5円、10円、15円、20円、25円

30円、35円、40円の9通り

【 50円玉×8枚 】

0円、50円、100円、150円、200円、250円

300円、350円、400円の9通り

【 1000円札×4枚 】

0円、1000円、2000円、3000円、4000円

5通り

【 10000円札×4枚 】

0円、10000円、20000円、30000円、40000円

5通り


両替することで重複する金額がなくなった。あとは(1)と同じ解き方だね。

できました☆


9×9×5×5-1=2024通り


たとえば、20420円なら5円玉から順に、20円、400円、0円、20000円を選んだってことだね。5円玉の9通りから1つ、50円玉の9通りから1つ、1000円札の5通りから1つ、10000円札の5通りから1つ、を選ぶから9×9×5×5なんだよ。


よって、答えは2024通りとなる。


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2025-01-16

場合の数9。

 【 問題 】5~6年生向け

さいころを3回投げて出た目を順にa、b、cとします。a×b×cが6の倍数になるとき、a、b、cの組み合わせは何通りありますか。


【 解答 】

6×6×6=216

{1,2,4,5}4×4×4=64

{1,3,5}   3×3×3=27

{1,5}      2×2×2=  8

216-(64+27-8)=133通り


普通に厄介だと思う。これを小学生でスムーズにやれるなら、高校生になっての反復試行や確率漸化式なんて簡単なはず(君たちは相当にレベルの高いことをやっているんだ)。手応え=自信を持ちながらやっていこう。では、いきます。


積が6の倍数は正面からいくと面倒なことになる、だって、6が1個でもあれば6の倍数になるんだけど6が2個でも3個でもいいし、6がなくても3×偶数でいけるんだけど偶数には6も含まれるし、、そう、場合分けが大変になっちゃう。


正面からいくのが厄介なときは全体から引いてあげる。


全体-6の倍数でない=6の倍数


これを余事象という。

全体の通り数は6×6×6=216通りだね、ここから6の倍数でないものを引いてあげる。

6=2×3であることを意識して場合分けする。



6の倍数でない

【1】

3、6を含めない場合

a、b、cが{1、2、4、5}であれば積が6の倍数にはならない。

あれ?でも3が入っても×奇数ならいいのでは?と思うかもだけど、3が入る場合は次で考える。

a、b、cが{1、2、4、5}

4×4×4=64通り

【2】

3を含める(でも、偶数は含めない)=奇数だけの場合

a、b、cが{1、3、5}であれば積が6の倍数にはならない。

a、b、cが{1、3、5}

3×3×3=27通り



これで6の倍数でないものは全部なんだけど重複がある、そう、{1、5}だ。たとえば、【1】にも【2】にも(a、b、c)=(1、1、5)は含まれてしまってる。だから、その重複は引いてあげないとだ。


【1】【2】の重複

⇒ a、b、cが{1、5}

2×2×2=8通り


できました☆


6の倍数でない

64+27-8=83通り


これを全体の通り数から引いてあげると6の倍数の通り数が出せる。


216-83=133通り


さいころ3回は216通り、その216通りのうち、83通りは積が6の倍数でない、133通りは積が6の倍数。

よって、答えは133通りとなる。


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2025-01-15

速さ8。

 【 問題 】4~5年生向け

AさんとBさんの家は1800mの距離があります。AさんとBさんが歩いてそれぞれの家を同時に出発すると10分後にX地点で出会います。もし2人とも歩くスピードを同じだけ速くしてそれぞれの家を同時に出発すると7分30秒後にY地点で出会います。Y地点はX地点よりもBさんの家に50m近いです。

(1) 2人は歩くスピードを分速何m速くしましたか。

(2) X地点はAさんの家から何mの距離ですか。


【 解答 】

1を教えると5も10もできちゃう上位層の背中を追うなら、こういった問題で思考力を身に付けるべきだ。4年生5年生で必ず触れたい問題だね。では、いきます。


(1)

10分後に出会う、スピードアップして7.5分後に出会う、2人の速さの和がわかるね。スピードアップ後のA、Bの速さをA’、B’としてみる。


(A+B) ×10分=1800m

A+B=180m/分

(A’+B’) ×7.5分=1800m

A’+B’=240m/分


2人が同じだけスピードアップしたら速さの和が180m/分から240m/分になった、そう、1人あたり


(240-180)÷2=30m/分


速くしたんだね。AさんとBさんは30m/分ずつ歩くスピードをアップして、速さの和が180m/分から240m/分になったんだ。


よって、答えは分速30mとなる。


(2)

先に線分図を書いちゃうね。

Aは10分でX地点に、スピードを上げたA’は7.5分でY地点に、X地点とY地点の距離は50m、ここまではいいね、上図を見て確認ね。

おっと、忘れてはいけない。線分図を書く前に、AさんとBさんはどちらが速いんだろう?ここをはっきりさせておかないとだ。

結論から言うと、Bさんが速くてAさんが遅い、だから線分図でのX地点も左寄りに書いてあるんだけど、なんでBさんが速くてAさんが遅いってわかるんだろう??

お互いが同じだけスピードを上げると元々の差は相対的に小さくなって、2人の出会う場所は真ん中に近くなっていくんだ。

どういうことかというと、たとえば、20m/分と40m/分だとしよう、このままだと2倍の速さなんだけど、500m/分ずつスピードアップすると520m/分と540m/分になってだいぶ近くなったでしょ、そう、つまり、同じスピードだけ上げると遅い方が押して、速い方が押されて出会う地点が真ん中に近くなっていくんだ、上の図を見てね。

Y地点はX地点よりBさんの家に近いとあったから、遅いAさんはX地点を押してY地点、速いBさんはX地点から押されてY地点、そしてY地点はX地点より真ん中に近いんだ。

X地点が左寄りで、Aさんの方が遅いのがわかった。

A’はAより毎分30m速くなってるから、Aの10分よりスピードアップしたA’の7.5分の方が50m先なんだね。図を見て確認だよ。

ここでスピードアップしたA’に無理やりあと2.5分歩いてもらう。そう、Aの10分とそろえるんだ。

Aの10分とA’の10分を比べると、A’の方が30m/分速いんだから、A’の10分の方が30×10=300m先に行ってるはず。

この300mから50mを引いた250mがA’の2.5分で進む距離なんだ。


A’×2.5分=250m

⇒ A’=100m/分


となる。A’+B’=240m/分だったから


A’+B’=240m/分

⇒ A’=100m/分、B’=140m/分


となる。A’とB’から30m/分を引いてあげれば、スピードアップする前のAさんとBさんの速さが分かる。


A’=100m/分、B’=140m/分

⇒ A=70m/分、B=110m/分


できました☆

Aさんの家からX地点までの距離は


70m/分×10分=700m


となる。

AさんとBさんの家の距離、X地点とY地点の距離も確認してみる。


(  70+110) × 10=1800m

(100+140) ×7.5=1800m

110× 10=1100m

140×7.5=1050m

1100-1050=50m


大丈夫だね!

よって、答えは700mとなる。


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2025-01-14

場合の数8。

 【 問題 】4~5年生向け

2025は0、2、5の3種類の数字でできており、各位の数字を足すと2+0+2+5=9になります。

このように4桁の整数のうち3種類の数字でできており、各位の数字を足すと9になるものは2025も含めて何個ありますか。


【 解答 】

場合の数の基礎ができるようになってから取り組んでみよう。細かく丁寧に場合分けした方が正答に至れる率は上がると思う。ここは本当に丁寧にだね。では、いきましょう。


和が9になるように数字を選んでから並び替えるんだ。

ここでは0の個数で場合分けしてみる。


【1】

0を2個使う場合

(0、0、1、8) 6個

(0、0、2、7) 6個

(0、0、3、6) 6個

(0、0、4、5) 6個

6×4=24個


【2】

0を1個使う場合

(0、1、1、7) 9個

(0、2、2、5) 9個

(0、3、3、3)

(0、4、4、1) 9個

9×3=27個


【3】

0を使わない場合

(1、1、2、5) 12個

(1、1、3、4) 12個

(2、2、1、4) 12個

(3、3、1、2) 12個

12×4=48個


24+27+48=99個


抜けがないか、見落としはないか、そもそも勘違いしていないか、、、大人なのに僕は緊張するよ😨、小学生の果敢な突破力が羨ましいね😆👍


よって、答えは99個となる。


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倍数算5。

 【 問題 】3~4年生向け

▢+2025:2025-▢ = 118:17

▢に入る数字はいくつですか。


【 解答 】

数字が大きくなりそうだしややこしそうなので内項の積=外項の積はやりたくない。算数で必須の和が変わらないで攻める。なるべく早い学年で慣れてしまおう。では、いきます。


118:17は数字が変わるんだ。▢+2025:2025-▢を簡単な数字にしたのが118:17なんだから、118:17を簡単にする前の数字に戻してあげないといけない。


▢+2025:2025-▢なんだけど、前項と後項の和が変わらない

▢に何を入れても


(▢+2025)+(2025-▢)=4050


になるね。であれば、118:17も前項と後項の和は4050にならないとおかしい。


できました☆


118+17=135だから、4050にするためには×30をしてあげればいい。


118:17 = 3540:510


これで和が4050でそろった。


▢+2025:2025-▢ = 118:17

+2025:2025-▢ = 3540:510

⇒ ▢=3540-2025=2025-510=1515


よって、答えは1515となる。


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