整数Aの約数を全部かけ合わせた数字をBとします。BをAで□回割ったところ商が45になり、□＋1回割ると商が初めて整数でなくなりました。
B÷A÷A÷・・・÷A＝45
Aはいくつですか。また、□に入る数字はいくつですか。
【 解答 】
A＝45×45＝2025
2025の約数＝｛1,3,5,9,15,25,27,45,75,81,135,225,405,675,2025｝
B＝1×2025×3×675×5×405×9×225×15×135×25×81×27×75×45
B÷A÷A÷A÷A÷A÷A÷A＝45
□＝7
適当な数字をあてはめて確認してみよう。では、いきます。
適当な数字でやってみる。
A＝10だとどうだろう。
Aの約数は｛1,2,5,10｝だから、B＝1×10×2×5＝10×10になるね。
そう、BはA＝10で2回割れて商が1になる。
A＝12だとどうだろう。
Aの約数は｛1,2,3,4,6,12｝だから、B＝1×12×2×6×3×4＝12×12×12になるね。
そう、BはA＝12で3回割れて商が1になる。
A＝30だとどうだろう。
Aの約数は｛1,2,3,5,6,10,15,30｝だから、B＝1×30×2×15×3×10×5×6＝30×30×30×30になるね。
そう、BはA＝30で4回割れて商が1になる。
そうなんだ、約数の個数が偶数個だと商が1になるんだ。割れる回数は、約数の個数÷2回、だね。
では、約数の個数が奇数個だとどうなるんだろ？約数の個数が奇数個の整数は平方数だ。
適当な平方数でやってみる。
A＝3×3＝9だと、Aの約数は｛1,3,9｝だから、B＝1×9×３になるね。
そう、BはA＝9で1回割れて商が3になる。
A＝4×4＝16だと、Aの約数は｛1,2,4,8,16｝だから、B＝1×16×2×8×4になるね。
そう、BはA＝16で2回割れて商が4になる。
A＝6×6＝36だと、Aの約数は｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝だから、B＝1×36×2×18×3×12×4×9×6になるね。
そう、BはA＝36で4回割れて商が6になる。
そうなんだ、約数の個数が奇数個だと□×□＝Aの□が商になるんだ。割れる回数は、(約数の個数－1)÷2回、だね。
できました☆
B÷A÷A÷・・・÷A＝45
⇒ A＝45×45＝2025
A＝2025の約数は数えると15個あって、それらを全部かけ合わせるとBになる。
B＝1×2025×3×675×5×405×9×225×15×135×25×81×27×75×45
BをAで割ると、(15－1)÷2＝7回割れて、商が45になる。
よって、答えはA＝2025、□＝7となる。
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