【 問題 】４年生向け
(1) 1円玉が4枚、10円玉が4枚、100円玉が2枚、500円玉が2枚、2000円札が2枚、5000円札が2枚あります。これらの硬貨・紙幣の一部または全部を使って支払える金額は何通りありますか。但し、0円は含めません。
(2) 5円玉が2枚、10円玉が3枚、50円玉が2枚、100円玉が3枚、1000円札が4枚、10000円札が4枚あります。これらの硬貨・紙幣の一部または全部を使って支払える金額は何通りありますか。但し、0円は含めません。
【 解答 】
(1) 5×5×3×3×3×3－1＝2024通り
(2) 9×9×5×5－1＝2024通り
(1)は重複なし、(2)は重複ありの問題だね。では、いきましょう。
（１）
それぞれの硬貨、紙幣で支払える金額を書き出す。
【 1円玉×4枚 】
0円、1円、2円、3円、4円の5通り
【 10円玉×4枚 】
0円、10円、20円、30円、40円の5通り
【 100円玉×2枚 】
0円、100円、200円の3通り
【 500円玉×2枚 】
0円、500円、1000円の3通り
【 2000円札×2枚 】
0円、2000円、4000円の3通り
【 5000円札×2枚 】
0円、5000円、10000円の3通り
それぞれの硬貨、紙幣で支払える金額に重複がないね、金額が全部バラバラ。
この場合は、それぞれの通り数を掛けてあげて、0円を除くとあるから－1（全部0円を選んだ場合の1通りを引く）をすればいい。
できました☆
5×5×3×3×3×3×－1＝2024通り
たとえば、1円玉から順に、2円、10円、200円、0円、0円、5000円を選んだら5212円になるし、4円、40円、100円、500円、4000円、0円を選んだら4644円になる。最高金額は4円、40円、200円、1000円、4000円、10000円を選んだ15244円だね。
これらが全部0円を選んだ場合を除くと2024通りあるんだ。
よって、答えは2024通りとなる。
（２）
これは注意がいる。たとえば、5円玉を2枚選んだ場合も10円玉を1枚選んだ場合も同じ10円だ、金額が重複する場合は(1)の解き方ができない。では、どうするか？そう、重複のある硬貨を両替するんだ。
【 5円玉×2枚 】
0円、5円、10円
【 10円玉×3枚 】
0円、10円、20円、30円
【 50円玉×2枚 】
0円、50円、100円
【 100円玉×3枚 】
0円、100円、200円、300円
【 1000円札×4枚 】
0円、1000円、2000円、3000円、4000円
【 10000円札×4枚 】
0円、10000円、20000円、30000円、40000円
このままでは(1)のように掛け算ができない。
なぜなら、たとえば、5円玉から順に10円、20円、0円、0円、0円、0円を選んだ場合と、0円、30円、0円、0円、0円、0円を選んだ場合とが同じ金額になって重複するからだ。他にも重複がたくさん出てしまう。重複があると同じ金額は1通りなのに2通りと数えてしまうからダメなんだ。
金額が重複する場合は、重複のある大きい硬貨を両替してあげる。
今回の場合は
10円玉3枚を5円玉6枚に両替(5円玉は全部で8枚)
100円玉3枚を50円玉6枚に両替(50円玉は全部で8枚)
両替すると以下のようになる。
【 5円玉×8枚 】
0円、5円、10円、15円、20円、25円
30円、35円、40円の9通り
【 50円玉×8枚 】
0円、50円、100円、150円、200円、250円
300円、350円、400円の9通り
【 1000円札×4枚 】
0円、1000円、2000円、3000円、4000円
の5通り
【 10000円札×4枚 】
0円、10000円、20000円、30000円、40000円
の5通り
両替することで重複する金額がなくなった。あとは(1)と同じ解き方だね。
できました☆
9×9×5×5－1＝2024通り
たとえば、20420円なら5円玉から順に、20円、400円、0円、20000円を選んだってことだね。5円玉の9通りから1つ、50円玉の9通りから1つ、1000円札の5通りから1つ、10000円札の5通りから1つ、を選ぶから9×9×5×5なんだよ。
よって、答えは2024通りとなる。
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