割合と比８。

 【 問題 】４～５年生向け

長男、長女、次男の3人は毎年両親からお年玉を次のルールでもらいます。

• お年玉の総額は18000円
• 3人の年齢比で18000円を分ける
• 年齢比で計算して金額が整数にならない場合は小数第1位を四捨五入する

今年、長女は6000円をもらいました。5年前、長男は7200円をもらいました。

では、去年、次男はお年玉をいくらもらいましたか。

ただし、長男、長女、次男の今年の年齢は10歳以上18歳未満です。

【 解答 】

長女は毎年6000円もらうんだね。では、いきましょう。

今年の長女の年齢＝①

今年の3人の年齢の和＝③

これはいいね、6000円は18000円の1/3だから、長女の年齢＝①とすれば3人の年齢の和＝③となるね。

5年前の長女の年齢＝①－5

5年前の3人の年齢の和＝③－15

これもいいね、今年が①と③なんだから、それぞれに－5と－15をしたんだ。

①－5＝（③－15）× 1/3

やっぱり5年前も長女は18000円×1/3＝6000円をもらうんだね。

長女はいつも3人の年齢の平均てことになる。

長男＝長女＋▢

長女

次男＝長女－▢

そう、長女はいつも3人の年齢の平均＝3人の年齢は等差数列、てことだね。

5年前の長男＝7200円

5年前の長女＝6000円

5年前の次男＝18000－(7200＋6000)＝4800円

⇒ 7200：6000：4800＝6：5：4

5年前の3人の年齢比は6：5：4で、今年の3人は10歳以上18歳未満。

数字をあてはめて10歳以上18歳未満を確認してあげる。

5年前＝6歳、5歳、4歳だとすると

今年の長男＝11歳

今年の長女＝10歳

今年の次男＝9歳 ・・・ ✖

5年前＝12歳、10歳、8歳だとすると

今年の長男＝17歳

今年の長女＝15歳

今年の次男＝13歳

5年前＝18歳、15歳、12歳だとすると

今年の長男＝23歳 ・・・ ✖

今年の長女＝20歳 ・・・ ✖

今年の次男＝17歳

よって、今年の3人の年齢は

長男＝17歳

長女＝15歳

次男＝13歳

と確定する。

できました☆

去年の長男＝16歳

去年の長女＝14歳

去年の次男＝12歳

3人の年齢比

⇒ 16：14：12＝8：7：6

去年の長男＝18000円× 8/21＝6857.1…＝6857円

去年の長女＝18000円× 7/21＝6000円

去年の次男＝18000円× 6/21＝5142.8…＝5143円

長女が常にいつも3人の年齢の平均＝3人の年齢は等差数列、になってることを確認してね！

よって、答えは5143円となる。

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割合と比７（ ベン図 ）。

 【 問題 】４年生向け

K中学校の新入生180人に算数と国語の好き嫌いアンケートを実施したところ、以下のようになりました。

• 国語が好きな子は、算数が好きな子の1.6倍の人数。
• 国語は好きだけど算数は嫌いな子は、算数は好きだけど国語は嫌いな子の2倍の人数。
• 国語も算数も嫌いな子は、国語も算数も好きな子の2倍の人数。

国語も算数も好きな子は何人ですか。

【 解答 】

ベン図を描いても表を作ってもどっちでもいいね。では、いきましょう。

ここではベン図でやってみる。

上のベン図を説明する。

国語好き＝算数好き×1.6

⇒ 算数好き＝⑤、国語好き＝⑧

国語だけ好き＝算数だけ好き×2

⇒ 算数だけ好き＝1　、国語だけ好き＝2

とした。

ここで差が一定の倍数算だ（ Read more » cf.倍数算1 、cf.年齢算1 ）。

国語好き－両方好き＝国語だけ好き

⇒ ⑧－両方好き＝2

算数好き－両方好き＝算数だけ好き

⇒ ⑤－両方好き＝1

⑧－両方好き＝2

⑤－両方好き＝1

⇒ ③＝1

⇒ 両方好き＝⑤－③＝②

倍数算の基礎だね。

同じ ” 両方好き ” を引いたから差が変わらない、だから、差をそろえる。

差が変わらない＝差一定、の倍数算。

国語好き－両方好き＝国語だけ好き

⇒ ⑧－②＝⑥

算数好き－両方好き＝算数だけ好き

⇒ ⑤－②＝③

両方好き＝②

⇒ 両方嫌い＝②×2＝④

これらをまとめると次のようになる。

できました☆

国語好き＝⑧

算数好き＝⑤

国語だけ好き＝⑥

算数だけ好き＝③

両方好き＝②

両方嫌い＝④

⇒ ⑥＋②＋③＋④＝180人

⇒ ⑮＝180人

⇒ ②＝24人

練習のときは全部の人数を確認してベン図を完成させるんだよ！本番ではどこが聞かれるかわからない！

よって、答えは24人となる。

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数列５（魔方陣）。

 【 問題 】１～３年生向け

9つのマスに数字を1つずつ入れて、たて・横・ななめに並んだ3つの数字の和がどれも等しくなるようにします。Aに入る数字はいくつですか。

【 解答 】

魔方陣くらい知ってるよ！と言わないで（笑

暗算でできるようになろう。では、いきます。

上の問題ですぐにわかるのは右下の数字だ。そう、13と17の平均の15。

たとえば、上の13と17だけわかってるとしたら、わかるのは右下だけ。

右下には13と17の平均の15が入る。

ここではへの字の法則（逆への字の法則）とでも言っておこう。

今回はこのへの字の法則で攻めてみる。

参考に１～9の魔方陣で、への字の法則（逆への字の法則）を確認しておこう。

への字（逆への字）の最後の数字が平均値になってるね。

できました☆

右下に、（ 13 ＋ 17 ）÷ 2 ＝ 15、が入るとわかった。

あとはド真ん中平均を使えば完成です。

ド真ん中に入るのは

A ＝ ( 5 ＋ 15 ) ÷ 2 ＝ 10

だね。

完成させると下のようになる。

ド真ん中平均を確認しておこう。

( 13 ＋ 7 ) ÷ 2 ＝ 10

( 12 ＋ 8 ) ÷ 2 ＝ 10

( 17 ＋ 3 ) ÷ 2 ＝ 10

どれもド真ん中の10になってるね。

3つの和も全部が10×3＝30になってるね。

よって、答えは10となる。

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倍数変化算３。

 【 問題 】４年生向け

Aさんは昨年末の時点で、引き分けのない対戦ゲームにおいて勝率が62.5％でした。今年に入り12試合で3勝9敗だったので、通算の勝率が60％になりました。Aさんは昨年末の時点で何勝していましたか。

【 解答 】

割合が前後で変化する問題、いわゆる倍数変化算。早めに慣れてしまおう。では、いきます。

倍数変化算では内項の積＝外項の積が有効（ Read more » cf.倍数変化算1 ）。

立式してみると次のようになる。

⑧＋12 ： ⑤＋3 ＝ 5 ： 3

勝率が62.5％ということは、62.5％＝0.625＝5/8だから、8試合のうち5試合を勝ってるということ。

だから

昨年末での試合数 ＝ ⑧

昨年末での勝ち数 ＝ ⑤

とおいたんだ。

上の式も参照しながら考えようか。

試合数が12増えて、勝ち数が3増えて、勝率が60％になった。

勝率が60％ということは、60％＝0.6＝3/5だから、5試合のうち3試合を勝ってるということ。

だから

⑧＋12 ： ⑤＋3 ＝ 5 ： 3

と式が立てられる。

あとはこれを解くだけ。

できました☆

⑧＋12 ： ⑤ ＋3 ＝ ５ ： 3

⇒ ㉕＋15＝㉔＋36

⇒ ①＝21

⇒ ⑧＝168、⑤＝105

昨年末の時点で168試合のうち105勝して勝率が62.5％、今年に入り3勝9敗なので180試合のうち108勝して勝率が60％、いちいち確認しよう。

よって、答えは105勝となる。

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場合の数１３。

 【 問題 】２～４年生向け

A、B、C、D、Eと書かれたカードがたくさんあります。この5種類のカードを下のルールにしたがって、左から右に並べていきます。

・ Aの右隣にはA、B、C、D、Eを並べられます。

・ Bの右隣にはBを並べられます。

・ Cの右隣にはD、Eを並べられます。

・ Dの右隣にはA、Eを並べられます。

・ Eの右隣にはCを並べられます。

（１）5枚カードを並べます。1枚目がAで5枚目がEである並べ方は何通りですか。

（２）9枚カードを並べます。1枚目と5枚目と9枚目がAである並べ方は何通りですか。

（３）8枚カードを並べます。8枚のうち4枚がＢである並べ方は何通りですか。

（４）6枚カードを並べます。Aが1枚だけ使われている並べ方は何通りですか。

【 解答 】

数えるだけの問題。上に抜けていない子以外は早めに触れておきたい問題だと思う。では、いきましょう。

（１）

これくらいなら勢いよく書き出しても良さそうな気もするけど、規則正しく数えてみよう。

上の表を見ると、Aから始まって5枚目がEなのは13通りとわかる。

2枚目の合計が5通りとあるのは、1枚目がAだから2枚目はA～Eのどれでもいいでしょ、だから5通り。

3枚目のEの3通りは、2枚目のAとCとDを足したんだ。だって、3枚目がEになるにはその前の2枚目がAかCかDじゃないとダメでしょ、だから1＋1＋1で3通り。

4枚目のＣの5通りは、3枚目のＡとＥを足したんだ。だって、4枚目がＣになるにはその前の3枚目がＡかＥじゃないとダメでしょ、だから、2＋3で5通り。

そんな具合に足し算してあげると、1枚目がＡのとき、5枚目がＥになるのは4枚目がＡかＣかＤのときだから、4＋5＋4＝13通りとなるね。

よって、答えは13通りとなる。

（２）

(1)の表を見ると、1枚目がAで5枚目もAなのは8通りとわかる。

A▢▢▢A▢▢▢A

2～4枚目の▢▢▢が8通りなんだから、6～8枚目の▢▢▢も8通りだね。

1枚目がAで5枚目もAなのは8通り

5枚目がAで9枚目もAなのは8通り

⇒ 1枚目も5枚目も9枚目もAなのは、8×8＝64通り

よって、答えは64通りとなる。

（３）

Bの右隣は必ずBになるから、Bが4枚ということは、その4枚は最後に並ばないといけない。

そうすると上のような感じになる。

5枚目がBだと、その前の4枚目はAしかダメ。4枚目がAだと、その前の3枚目はAかDのどちらか。そうやって逆算していく。

｛ A、A、A、A、B、B、B、B ｝

｛ D、A、A、A、B、B、B、B ｝

｛ A、D、A、A、B、B、B、B ｝

｛ C、D、A、A、B、B、B、B ｝

｛ A、A、D、A、B、B、B、B ｝

｛ D、A、D、A、B、B、B、B ｝

｛ A、C、D、A、B、B、B、B ｝

｛ E、C、D、A、B、B、B、B ｝

よって、答えは8通りとなる。

（４）

Aが何枚目に使われているかで場合分けをすればいい。

1枚目にAを使う場合を表にすると次のような感じになる。

(1)と違うのは、Aは1枚目で使ってしまって2枚目以降は使えないから✖にしてある。

3枚目のEの2通りは、2枚目のCとDを足したんだ。3枚目がEになるにはその前の2枚目がCかDじゃないとダメ、だから1＋1で2通り。

6枚目のCの3通りは、5枚目のEの3通りだね。6枚目がCになるにはその前の5枚目がEじゃないとダメ、だから3通り。

1枚目がA

A▢▢▢▢▢

 ⇒ 10通り

2枚目がAは何通りだろうか。

2枚目がAということは、1枚目はDだね。Aは2枚目で使ってるから、1枚目では使えない。とすると、DA▢▢▢▢になるんだけど、A▢▢▢▢は上の表の5枚目の合計を見てあげればいい。そう、A▢▢▢▢は8通りだね。

2枚目がA

DA▢▢▢▢

 ⇒ 8通り

3枚目がAは何通りだろうか。

3枚目がAということは、2枚目はDで1枚目はCだね。CDA▢▢▢になるんだけど、A▢▢▢は上の表の4枚目の合計を見てあげればいい。そう、A▢▢▢は6通りだね。

3枚目がA

CDA▢▢▢

 ⇒ 6通り

4枚目がAは何通りだろうか。

4枚目がAということは、3枚目はDで2枚目はCで1枚目はEだね。ECDA▢▢になるんだけど、A▢▢は上の表の3枚目の合計を見てあげればいい。そう、A▢▢は5通りだね。

4枚目がA

ECDA▢▢

 ⇒ 5通り

5枚目がAは何通りだろうか。

5枚目がAということは、4枚目はDで3枚目はCで2枚目はEで、1枚目はCかDだね。CECDA▢もしくはDECDA▢になるんだけど、A▢は上の表の2枚目の合計を見てあげればいい。そう、A▢は4通りだね。

5枚目がA

CECDA▢

DECDA▢

⇒ 4×2＝8通り

6枚目がAは何通りだろうか。

もうこれはわかったね、同じように逆算してあげればいい。CECDAの2枚目のCの前はEだけ、DECDAの2枚目のDの前はCだけ、だから2通りだね。

6枚目がA

ECECDA

CDECDA

⇒ 2通り

できました☆

10＋8＋6＋5＋8＋2＝39通り

この類の問題は慣れてしまうと小学生はすごく速い。スマホなんかでも最初はよく分からないはずなのに、いつの間にか、小学生が大人並みに使いこなしてるでしょ。受験算数なんて慣れの問題で、食わず嫌いを克服できますか？て話だと思う。嫌いなものを好きになるのはもしかしたら至難のことかもしれないけど、やって損がないのが中学受験。受験勉強よりも他に何か打ち込めるものがありますか？、ないのであれば、上に抜けてない子ほど中学受験はお勧めです。

よって、答えは39通りとなる。

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年齢算２。

 【 問題 】５年生向け

現在、父と母の年齢の合計は82歳、姉と僕と弟の年齢の合計は25歳、母と姉の年齢の合計は52歳です。

1年後、母の年齢は僕と弟の年齢の合計の3倍になります。また、7年前はまだ弟が生まれておらず、父と母と姉と僕の年齢の合計は77歳でした。

現在、父と母と姉と僕と弟はそれぞれ何歳ですか。

【 解答 】

線分図を書いてもうまくまとまらない、立式して頑張って消去算で押していくか。算力のある子は何だかんだで正面突破して答えに辿り着けてしまうけど、算力のない子だって勝負しないわけにはいかない。

弟の年齢はすぐに出せるから、まずはそこから攻める。そして、現在ではなく1年後の式を作って、式とにらめっこしてみる。では、いきましょう。

現在の5人の和

＝父＋母＋姉＋僕＋弟

＝82＋25＝107歳

現在の4人の和

＝父＋母＋姉＋僕

＝77＋7×4＝105歳

⇒ 弟＝107－105＝2歳

現在の弟の年齢が2歳なのはわかった。

次はどうしようか。

1年後に母が僕＋弟の×3とあるから、1年後の年齢から攻めてみる。

1年後の年齢についてまとめてみる。

父＋母＝84歳

姉＋僕＋弟＝28歳

母＝③

僕＋弟＝①

母＋姉＝54歳

( 弟＝3歳 )

これを見てどう解くか。

弟の年齢がわかってるから代入して消去したくなるかもだけど、そこはそのまま置いて、少しいじってみよう（もちろん、消去算で押してってもいいよ！）。

父＋③＝84歳

姉＋①＝28歳

父－姉＝84－54＝30歳

( 弟＝3歳 )

そうなんだ、実は、1年後の父：姉は3：1なんだ。

父と姉に③と①を足したら84歳と28歳になった。84歳と28歳は3：1だよね。

つまり、父と姉に3：1を足したら3：1になった、ということは、父と姉の比も3：1だったんだ。これを加比の理という。覚えておこう。

できました☆

父＋③＝84歳

姉＋①＝28歳

⇒ 父：姉＝3：1

父：姉＝3：1

父－姉＝30歳

⇒ 父＝30× 3/2＝45歳、姉＝30× 1/2＝15歳

これは1年後の年齢だったね。現在の年齢は

父＝45－1＝44歳

母＝82－44＝38歳

姉＝15－1＝14歳

僕＝25－(14＋2)＝9歳

弟＝2歳

となる。

1：2に1：2を足したら1：2になる、たとえば、10円と20円に100円と200円を足したら110円と220円になって1：2になるね、これが加比の理、当たり前だけど問題になると抜けてしまうからしっかりと覚えておこう！

よって、答えは、父＝44歳、母＝38歳、姉＝14歳、僕＝9歳、弟＝2歳、となる。

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面積１０。

【 問題 】４～５年生向け

四角形ABCDは正方形で、点E、点F、点G、点H、点I、点Jは正方形ABCDの辺上にあり、点KはGI上にあります。

FJとGIは平行、KHとICは平行です。

正方形ABCDの面積はEJ、FJ、GI、KHによって5等分されています。

DJ＝1.5cm、EF＝6cmのとき、正方形ABCDの面積は何㎠ですか。また、KHの長さは何cmですか。

【 解答 】

4年生や5年生の毎週のテストや公開模試は順位や偏差値を測るためのものではない。テスト慣れを図ったり、弱点を把握したり、手応えを確認するためにするものだ。合格を見据えて歩一歩と確かな歩みで進んでいこう。では、解説します。

EF＝6cmがわかってるから、6cm×5× 1/2＝15cmと一辺の長さはすぐに出るのだけど、ここでは順々に全部の長さを出してみる。練習なのに大人が知ってる最短の解き方をやってもほとんど無意味だからね。

EF＝6cm

AE＋DJ＝6cm

⇒ AE＝4.5cm

FG＋JI＝6cm

⇒ FG＝JI＝3cm

GB＋IC＝12cm（面積2個分だから6cm×2）

高さが等しいに着目したんだね、ここまでは目で追うこと。

GBとICを、ここではあえて和差算で出してみる。

AG＝AE＋EF＋FG＝4.5＋6＋3＝13.5cm

DI＝DJ＋JI＝1.5＋3＝4.5cm

⇒ IC－GB＝13.5－4.5＝9cm

できました☆

GBとICの長さの和は12cm、差は9cm

⇒ GB＋IC＝12cm、 IC－GB＝9cm

⇒ GB＝1.5cm、IC＝10.5cm

正方形の一辺

＝ AG＋GB

＝ 13.5＋1.5＝15cm

正方形の一辺＝15cm

⇒ 正方形の面積＝15×15＝225㎠

続いて、KHの長さはどうするか。

台形GBHKの面積は出せる、225㎠× 1/5＝45㎠だ。

でも、KHもBHも長さがわかっていない。

(1.5＋KH) × BH × 1/2 ＝ 45㎠

これではKHもBHも出せない。どうするか。

ここで鉄則だ。

鉄則９．

台形の上底と下底の長さ＋分けられた2つの台形の面積比が出てる

⇒ 台形の外側に補助線を引いて三角形の相似を作る

今回の場合でいえば、上底＝1.5cm、下底＝10.5cm、分けられた2つの台形の面積比＝1：1、のことだね。

補助線を引くと下のような感じになる。

IGとCBを伸ばして、交わった点をLとしたんだ。

△ILCと△GLBは相似だね。

相似比がわかれば面積比がわかる。

IC：GB＝10.5cm：1.5cm＝7：1

⇒ △ILCの面積：△GLBの面積＝49：1

⇒ 台形GBCIの面積＝49－1＝48

⇒ 台形GBHKの面積＝台形KHCIの面積＝48× 1/2＝24

もうわかったね。

今度は、△KLHと△GLBの相似を見て、面積比から相似比を出してあげる。

△KLHの面積：△GLBの面積＝24＋1：1＝25：1

⇒ KH：GB＝5：1

⇒ KH＝GB×5＝1.5cm×5＝7.5cm

BHとHCの長さも出してみよう。

CL：BL＝7：1

HL：BL＝5：1

⇒ LB：BH：HC＝1：4：2

⇒ BH：HC＝2：1

⇒ BH＝15× 2/3=10cm、HC＝15× 1/3=5cm

どの図形も面積が225㎠× 1/5＝45㎠になってるか確認するんだよ。

よって、答えは正方形ABCDの面積＝225㎠、KH＝7.5cmとなる。

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