場合の数１５。

 【 問題 】４年生向け

十角形の各頂点の中から3点を選んで三角形を作ります。

上図のような十角形の辺を使わない三角形は何個ありますか。

【 解答 】

直接出しにいった方がいいのか、それとも、全体の通り数から引いた方がいいのか、そこは見極めないといけない。どちらがより正確に、より速く出せるのか、問題ごとに考える。では、いきましょう。

ここでは、全体の個数から引いてみる。

10個の頂点から3点の選び方

＝ 10C3

＝ 10×9×8× 1/6

＝ 120

全体の三角形の個数は120個だね。

この120個から、辺を共有する三角形を引いてあげればいい。

辺を共有する三角形には、2辺を共有する三角形と1辺を共有する三角形の2種類があるから、それぞれを数える。

≪ 2辺共有 ≫

2辺を共有する三角形は、上図のような十角形の各頂点を頂角とする二等辺三角形のみ。

⇒ 10個

≪ 1辺共有 ≫

1辺を共有する三角形は、上図のように1つの辺に対して6個ある。

⇒ 6×10＝60個

できました☆

120－(10＋60)＝50個

直接出しにいけないこともないけど、全体から引いた方が正確だし速いね！

よって、答えは50個となる。

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面積２４。

 【 問題 】５年生向け

三角形ABCは∠A＝90°の直角三角形で、AC上に点D、BC上に点Eがあり、∠DEC＝90°です。

AB＝AD、BE＋DE＝24㎝、EC＝16.8㎝のとき、次の問いに答えなさい。

（１）DEの長さは何㎝ですか。

（２）三角形ABDの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

着眼すべきは四角形ABED。四角形ABEDは直角二等辺三角形と直角三角形が組み合わさってできてる。この特徴のある四角形は必ず記憶しておくこと。

では、いきましょう。

（１）

四角形ABEDは、AEに補助線を引くことで、直角二等辺三角形AE’Eに変形できるんだ。

△ADEと△ABE’は合同で、△AE’Eは直角二等辺三角形になる。

四角形ABEDは、対角線BDを引くと

⇒ 直角二等辺三角形ABD＋直角三角形DEB

四角形ABEDは、対角線AEを引くと

⇒ △ADEを点A固定で回転させて△ABE'に移動

⇒ 直角二等辺三角形AE'E

視点を変えてみる。

Bから左にDE＝BE'になるようにBE'を引いてあげる。

∠ABE'＝180°－∠ABE＝∠ADE

BE'＝DE

AB＝AD

ほら、△ABE'と△ADEは合同でしょ。

ということは、△AE'Eは直角二等辺三角形だね。

DE＝BE'

BE＋DE＝24㎝

⇒ BE＋BE’＝24㎝

⇒ E’E＝24㎝

直角二等辺三角形AE'Eの斜辺E'Eが24㎝とわかった。

ここで、AからE'Eに垂線AFを引いてあげる。

AF＝FE＝12㎝は大丈夫だね。

できました☆

△AFCと△DECは相似だから

AF＝12㎝

FE：EC＝12㎝：16.8㎝＝5：7

⇒ DE＝12× 7/12＝7㎝

となる。

FはE’Eの中点だよ、当たり前の確認ね。

よって、答えは7㎝となる。

（２）

DE＝7㎝

BE＋DE＝24㎝

⇒ BE＝17㎝

できました☆

直角二等辺三角形AE'Eは四角形ABEDを変形させたものなんだから

四角形ABEDの面積

＝ 直角二等辺三角形AE'Eの面積

＝ 24×12× 1/2＝144㎠

となる。

三角形ABDの面積

＝四角形ABEDの面積－三角形DEBの面積

＝144－17×7× 1/2＝84.5㎠

頭の中で補助線を描けるようになろう。

よって、答えは84.5㎠となる。

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数の性質１４。

 【 問題 】３～４年生向け

2024年12月の1ヵ月間、お母さんとお父さんと長女と長男の4人の中から2人ペアを決めて、雨が降っていない朝に犬のラッシー君と散歩をしました。お母さんは14日、お父さんは19日、長女は15日、長男は12日、散歩をしました。長女と長男の2人がペアになった日は、他のどのペアよりも少ない日数で3日でした。

（１）朝に雨が降っていた日は何日ありましたか。

（２）最も多くペアになったのは誰と誰で、それは何日ですか。

【 解答 】

延べ日数とか延べ人数とか言われる問題だね。小難しそうだけど実は全然難しくない。慣れてしまえばみんなができる。そう、つまりは、やったモン勝ちってこと。

では、いきましょう。

（１）

14日＋19日＋15日＋12日＝60日

1人1人に着目して個別に考えると、各人1人が60日散歩に行った。

ラッシー君との散歩は2人ペアで行くのだから

1人×60日＝2人×▢日

⇒ ▢＝30

となり、2人ペアで30日散歩に行ったことになる。

12月は31日まであるから

31日－30日＝1日

朝に雨が降っていた日は1日だね。

よって、答えは1日となる。

（２）

母＝14日

父＝19日

長女＝15日

長男＝12日

長女の15日のうち3日は長男とだから、残りの15－3＝12日は母か父とのペアになる。同じように、長男の12日のうち3日は長女とだから、残りの12－3＝9日は母か父とのペアになる。

長女＝15－3＝12日

長男＝12－3＝9日

⇒ 長女＋長男＝21日

21日は母か父とのペアになる。

母＝14日

父＝19日

⇒ 母＋父＝33日

33日のうち21日は長女か長男とのペアになる。

33－21＝12日

この残りの母＋父＝12日が、母と父のペアになる。

母＋父＝12日

⇒ 母＝6日、父＝6日

⇒ 母＆父のペア＝6日

ここで全てのペアを羅列してみる。

母＆父のペア＝6日

母＆長女のペア＝

母＆長男のペア＝

父＆長女のペア＝

父＆長男のペア＝

長女＆長男のペア＝3日

母＝14日であることを思い出して欲しい。

母＝14日

母＆父のペア＝6日

母＆長女のペア＝

母＆長男のペア＝

⇒ 母＆長女のペア＋母＆長男のペア＝14－6＝8日

⇒ 母＆長女のペア＝4日、母＆長男のペア＝4日

とわかる。なぜなら、長女＆長男のペア＝3日が最も少ないと問題文にあったから、他のペアの日数は4日以上だ。

母＆長女のペア＋母＆長男のペア＝8日

⇒ 0＋8、1＋7、2＋6、3＋5、4＋4＝8日

そう、足して8日になる4日以上の日数は、4＋4＝8日しかないんだ。

だから、母＆長女のペア＝4日、母＆長男のペア＝4日、と決定する。

母＆父のペア＝6日

母＆長女のペア＝4日

母＆長男のペア＝4日

父＆長女のペア＝

父＆長男のペア＝

長女＆長男のペア＝3日

できました☆

長女＝15日

母＆長女のペア＝4日

父＆長女のペア＝

長女＆長男のペア＝3日

⇒ 父＆長女のペア＝15－(4＋3)＝8日

長男＝12日

母＆長男のペア＝4日

父＆長男のペア＝

長女＆長男のペア＝3日

⇒ 父＆長男のペア＝12－(4＋3)＝5日

どこから攻めてもいけるよ！

まとめてみる。

母＆父のペア＝6日

母＆長女のペア＝4日

母＆長男のペア＝4日

父＆長女のペア＝8日

父＆長男のペア＝5日

長女＆長男のペア＝3日

父＆長女のペアが8日で最も多いね。

6＋4＋4＋8＋5＋3＝30日

母＝6＋4＋4＝14日

父＝6＋8＋5＝19日

長女＝4＋8＋3＝15日

長男＝4＋5＋3＝12日

ちゃんと数字も合ってるね！

よって、答えは父と長女で8日となる。

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売買算１０。

 【 問題 】５年生向け

A店とB店では同じ商品を同じ仕入れ値で同じ個数だけ仕入れました。

A店は、17％の利益を見込んで定価をつけ、1日で全部を売りました。

B店は、50％の利益を見込んで定価をつけましたが、1日目では全部が売れませんでした。2日目は、定価の20％引きで売ったところ、まだ売れ残りが300個ありました。3日目は、2日目の価格の10％引きで売ったところ、全部が売れました。また、Ｂ店で2日目に売れた個数は、1日目と3日目に売れた個数の合計と同じでした。

この商品のＡ店の利益とＢ店の利益は同じ金額でした。

Ｂ店が1日目に売った商品の個数は何個ですか。

【 解答 】

つり合いをとる（バランスをとる）＝天秤図、原価に対する利益率がB店も17％であることがわかれば簡単だね。

問題文が長いと臆してしまうかもしれないけど、そんなのは気持ちの問題＝慣れの問題だ。ここまではわかる、ここまでは大丈夫、と区切りながら、練習では丁寧に紐解いていこう。

では、いきます。

原価×1.5×0.8＝原価×1.2

⇒ 2日目は20％の利益

原価×1.2×0.9＝原価×1.08

⇒ 3日目は8％の利益

50％　▢個

20％　▢＋300個

17％

8％　  300個

ここでつり合いをとってあげる。もちろん天秤図を書いても良いよ！

8％300個は、17％を基準にして17－8＝9％利益が少ない。

⇒ 9％×300個

20％▢＋300個は、17％を基準にして20－17＝3％利益が多い。

⇒ 3％×▢個＋3％×300個

50％▢個は、17％を基準にして50－17＝33％利益が多い。

⇒ 33％×▢個

この少ないと多いがつり合ってるんだ。

（ Read more » cf.平均算1、cf.平均算2、cf.食塩水6-天秤図 ）

できました☆

9×300＝3×▢＋3×300＋33×▢

⇒ 2700＝36×▢＋900

⇒ 1800＝36×▢

⇒ ▢＝50

B店では、700個の商品を仕入れ、1日目は50個、2日目は350個、3日目は300個を売って、原価に対する利益率はA店と同じ17％だったんだね。

よって、答えは50個となる。

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売買算９。

 【 問題 】３～４年生向け

仕入れ値が1個400円の商品があります。この商品を昨日は定価の1割引きで250個、今日は定価の100円引きで400個を売ったところ、2日間の利益は50000円になりました。この商品の定価は何円ですか。

【 解答 】

1個あたりの利益に関する情報がまったく書いてないから、利益攻めができない。そんなときは売上で攻める。では、いきましょう。

2日間の売上

＝400円×650個＋50000円＝310000円

定価＝▢円、とおいて立式してあげる。

昨日の売上＝▢×0.9×250

今日の売上＝▢×400－100×400

⇒ ▢×0.9×250＋▢×400－100×400＝310000

⇒ ▢×625－40000＝310000

⇒ ▢×625＝350000

⇒ ▢＝560

利益がいくらだったと書いてあるから利益で攻めようかと思ったら1個あたりの利益の情報が何もなかった、そんなときは売上で攻めるんだ。

よって、答えは560円となる。

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売買算８。

 【 問題 】３～４年生向け

あるディスカウントストアはチョコ菓子Aを200円で仕入れ、35％の利益を見込んで定価をつけて売っていました。今回、商品入れ替えのため、チョコ菓子Aの在庫を処分することになりました。チョコ菓子Aを定価の1割引きで売ったところ在庫の半分しか売れなかったので、残りを定価の50円引きで売ったところ全部が売れました。利益を計算したところ、全部を定価で売ったときの利益よりも11550円少なかったです。チョコ菓子Aの在庫は何個でしたか。

【 解答 】

問題文が冗長に過ぎるね💧、商品入れ替えとか在庫を処分するとか立式には全く関係がない。立式からすればほとんどが蛇足で不要な文言ばっか😟

あるディスカウントストアはチョコ菓子Aを200円で仕入れ、35％の利益を見込んで定価をつけて売っていました。今回、商品入れ替えのため、チョコ菓子Aの在庫を処分することになりました。チョコ菓子Aを定価の1割引きで売ったところ在庫の半分しか売れなかったので、残りを定価の50円引きで売ったところ全部が売れました。利益を計算したところ、全部を定価で売ったときの利益よりも11550円少なかったです。チョコ菓子Aの在庫は何個でしたか。

↓　↓　↓

Aを200円で仕入れ、35％の利益を見込んで定価をつけた。Aを定価の1割引きで半分、残りを定価の50円引きで売った。全部を定価で売ったときの利益よりも11550円少なかった。Aは何個？

半分を1割引き、半分を50円引きで売っただけの問題。

算数でも数学でも文章が無駄に長いのは時代の要請なのかもしれないけど、問題文の長さと難易度は比例するわけではないから、簡単にあきらめずに読み解こう。

では、いきます。

200×1.35＝270

270×0.1＝27

▢＝在庫の半分の個数

27×▢＋50×▢＝11550

⇒ ▢＝150

150×2＝300個

定価＝200×1.35＝270円

定価の1割＝270×0.1＝27円

定価の27円引きで半分、定価の50円引きで半分売ったら、利益は定価で売ったときよりも11550円少なかった。

定価からの値引き額は、そのまま利益の減少額だからね。

定価から27円値引きすれば利益は27円減るし、定価から50円値引きすれば利益は50円減る。この当たり前をきちんと押さえる。

できました☆

在庫の半分の個数＝▢個、として立式してあげる。

27×▢＋50×▢＝11550

⇒ 77×▢＝11550

⇒ ▢＝150

在庫の半分の個数＝150個

⇒ 在庫の個数＝150×2＝300個

売上とか考えないで、利益に着目して、利益で攻めるんだよ！

よって、答えは300個となる。

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売買算７。

 【 問題 】３～４年生向け

あるディスカウントストアは150個のメロンパンを仕入れて、20％の利益を見込んで定価をつけました。ところが1日目の売れ行きが想定より悪かったので、2日目には定価の50％引きにして売り切りました。2日間の損益を計算したところ、利益も損失もありませんでした。1日目に売れたメロンパンは何個ですか。

【 解答 】

150個と20％と50％しか数字がないんだから、式も複雑になりようがない。

簡単なはず！できるはず！と自信をもって取り組もう。では、いきます。

利益も損失もありません

⇒ 1日目の利益＝2日目の損失

ここをきちんと押さえる。

1日目の利益＝原価×20％×▢個

2日目の損失はどうだろう。

2日目の売値

＝原価×1.2×0.5

＝原価×0.6

2日目は原価の60％で売ったんだ。そう、つまり、40％の損失で売ったということだね。

2日目の損失＝原価×40％×△個

できました☆

原価×20％×▢個＝原価×40％×△個

⇒ ▢：△＝2：1

1日目と2日目の売れた個数の比は2：1

⇒ 1日目に売れた個数＝▢＝150個× 2/3＝100個

受験算数ではあっちこっちで逆比が出てくる。逆比に慣れ親しもう！

よって、答えは100個となる。

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売買算６。

 【 問題 】４年生向け

卵を1個22円で何個か仕入れました。50％の利益を見込んで定価をつけて10個＝1パックで販売したところ、仕入れた個数の3％が売れ残ってしまいました。全体の利益は20020円でした。定価で売った卵は何パックですか。

【 解答 】

解き方は何でもいいと思うけど、線分図を書いたり、適当に数字をおいたり、一見わかりやすそうに見えたところで、実際はなかなか使いこなせなかったりする。

上に抜けていない大多数の子たちにとって必要なのは、記憶に残る解き方・再現性の高い解き方、そして一貫性だ。意味のある反復を実践する、そして得点につなげる。

では、いきましょう。

仕入れた個数＝▢個

22×0.5＝11

11×▢×0.97－22×▢×0.03＝20020

⇒ ▢×0.97－▢×0.06＝1820

⇒ ▢×0.91＝1820

⇒ ▢＝2000

2000×0.97＝1940個

1940÷10＝194パック

ここでは、仕入れ個数＝▢個として、利益と損失をしっかりと分けて立式してみる。

≪ 利益 ≫

定価で売ったときの1個あたりの利益

＝22円×0.5＝11円

3％が売れ残ったのだから、定価で売ったのは97％だ。

仕入れた個数の97％を定価で売った利益

＝11×▢×0.97 円

≪ 損失 ≫

売れ残りは3％、この3％は仕入れ値の22円が丸々損失となる。

仕入れた個数の3％が売れ残った損失

＝22×▢×0.03 円

定価で売った利益から売れ残った損失を引いたものが、全体の利益の20020円なんだ。

できました☆

11×▢×0.97 －22×▢×0.03 ＝20020

（11で約分してあげて）

⇒ ▢×0.97－▢×0.06＝1820

⇒ ▢×0.91＝1820

⇒ ▢＝2000

仕入れた個数＝2000個とわかった。

仕入れた個数＝2000個

⇒ 定価で売った個数＝2000×0.97＝1940個

⇒ 1940÷10＝194パック

2000－1940＝60個が売れ残って、この60個は売れなかったんだから、仕入れに使った22円×60＝1320円がそのまま損失になるんだね。

よって、答えは194パックとなる。

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売買算５。

 【 問題 】３～４年生向け

ある商品を500個仕入れました。1日目は、25％の利益を見込んで250個を売りました。2日目は、10％の利益を見込んで150個を売りました。3日目は、2日目の価格よりも100円引きで残りの100個を売りました。3日間の合計の利益は60000円でした。3日目は、商品1個を何円で売りましたか。

【 解答 】

立式が簡単だからサクっと解いてしまおう。利益が60000円と書いてあるのだから、売上なんか考えずに利益に焦点をあてて、利益攻めをしていけばいいね。

では、いきます。

▢＝仕入れ値

▢×0.25×250＋▢×0.1×250－100×100＝60000

⇒ ▢×87.5＝70000

⇒ ▢＝800

800×1.1－100＝780円

1日目の利益

＝▢×0.25×250

2日目＋3日目の利益

＝▢×0.1×250－100×100

⇒ ▢×0.25×250＋▢×0.1×250－100×100＝60000

3日目に100円の値引きをしなかったら、利益は60000＋100×100＝70000円だったんだ。

つまり、25％で250個、10％で250個、これで利益が70000円てことだね。

▢×0.25×250＋▢×0.1×250－100×100＝60000

⇒ ▢×0.25×250＋▢×0.1×250＝70000

⇒ ▢×87.5＝70000

⇒ ▢＝800

仕入れ値が1個800円とわかった。

3日目の価格は、800円の10％増しから100円を引いた価格だ。

3日目の価格

＝800×1.1－100＝780円

3日目は原価割れの1個あたり800－780＝20円の損失で売ったんだね。

よって、答えは780円となる。

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売買算４。

 【 問題 】３～４年生向け

1個▢円の商品を1200個仕入れ、2割5分の利益を見込んで定価をつけました。定価では半分しか売れなかったので、残りの半分のうち、400個は1個あたり60円引きで、200個は1個あたり120円引きで売ったところ、利益は72000円になりました。▢に入る数字はいくつですか。

【 解答 】

値引きしたから利益が減った、当たり前感覚を大事にすること。

では、いきましょう。

▢×0.25×1200＝72000＋400×60＋200×120

⇒ ▢×300＝120000

⇒ ▢＝400

値引きをしたら利益は72000円になった。ということは、値引きをしなかったらもっと利益があったんだ。

400個の60円の値引き、200個の120円の値引き、これらの値引きをせずに全部を定価で売っていたら

400×60＝24000

200×120＝24000

72000＋24000＋24000＝120000円

そう、全部を定価で売っていたら120000円の利益だったんだ。

できました☆

▢×0.25×1200＝120000

⇒ ▢×300＝120000

⇒ ▢＝400

確認してみよう。

400×0.25＝100円利益／個

⇒ 100×600＝60000円利益

100－60＝40円利益／個

⇒ 40×400＝16000円利益

120－100＝20円損失／個

⇒ 20×200＝4000円損失

60000＋16000－4000＝72000円利益

大丈夫、合ってるね！

よって、答えは400となる。

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売買算３。

 【 問題 】３～４年生向け

仕入れ値が1個2500円の商品を40個仕入れました。この商品に20％の利益を見込んで定価をつけて売ったところ、一部が売れ残りました。そこで、残りの商品については定価の20％引きで売ったところ、全部が売れました。利益は定価で40個が売れたときの55％でした。定価で売れた商品は何個でしたか。

【 解答 】

いわゆる弁償算だね。弁償算は小学生みんな上手に解くから心配ないね。では、いきましょう。

2500×0.2＝500円利益

2500×1.2×0.8＝2400円

2500－2400＝100円損失

500×40＝20000円

20000×0.55＝11000円

20000－11000＝9000円

9000÷(500＋100)＝15個

40－15＝25個

定価で売ったときの利益

＝2500円×0.2＝500円

定価の20％引きの価格

＝2500円×1.2×0.8＝2400円

定価の20％引きで売ったときの損失

＝2500円－2400円＝100円

そう、定価で売ると500円の利益なんだけど、定価の20％引きで売ると100円の損失なんだ。どんな解き方をするのであれ、受験算数では、この500円の利益と100円の損失はきちんと理解しないといけない。

また、＋20％のあとに－20％だと損失になる、これも意識して欲しい。

40個を定価で売ったときの利益

＝500円×40＝20000円

40個を定価で売ったときの利益の55％

＝20000円×0.55＝11000円

そう、売れ残りを定価の20％引きで売ったから20000円だったはずの利益が11000円になったんだ。

20000円－11000円＝9000円

利益が9000円減った。

1個売れ残りが出ると

500円の利益⇒100円の損失

そう、1個の売れ残りで利益は

500円＋100円＝600円

減るんだ。

できました☆

全部で9000円利益が減ってて、1個の売れ残りで利益は600円減るんだから

9000÷600＝15個

の売れ残りがあったんだ。

定価で売れた個数は

40個－15個＝25個

になる。

確認してみる。

500円×25＝12500円の利益

100円×15＝1500円の損失

12500円－1500円＝11000円の利益

大丈夫、合ってるね！

よって、答えは25個となる。

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面積２３。

 【 問題 】４～５年生向け

四角形ABCDは正方形で、点Eと点Fは正方形ABCDの辺上にあります。点GはDE上にあり、∠DGF＝90°、GF＝10㎝です。

また、三角形AEDと四角形GFCDと四角形EBFGの面積比は3：3：4です。

正方形ABCDの面積は何㎠ですか。

【 解答 】

パズルのThe-Tみたいだね。相似の基本が詰まった問題、相似比⇒面積比⇒相似比の順に出していくんだ。では、いきましょう。

AE：EBがすぐ出せる。

三角形AEDの面積：台形EBCDの面積

＝ 3：(4＋3)

＝ 3：7

＝ AE：EB＋DC

AE：EB＋DC＝3：7

⇒ AE：DC＝3：(3＋7)× 1/2

⇒ AE：DC＝3：5

⇒ AE：EB：DC＝3：2：5

AE：EB＝3：2がすぐにわかった。

ここに絡めて直角三角形の相似を作るんだけど、この問題には以下の3パターンの直角三角形の相似が入ってる。

直角三角形の相似を頭に叩き込んでおこう。

直角三角形の相似を目指して補助線を引くと次のような感じになる。

AE：EB＝3：2

⇒ △EADの面積：△EBHの面積＝9：4

⇒ △EADの面積＝⑨、△EBHの面積＝④

△EADの面積＝⑨

△EAD：四角形GFCD：四角形EBFG＝3：3：4

⇒ △EADの面積＝四角形GFCDの面積＝⑨、四角形EBFGの面積＝⑫

できました☆

△EBHの面積＝④、四角形EBFGの面積＝⑫

⇒ △EBHの面積＝④、△FGHの面積＝⑯

⇒ △EBHの面積：△FGHの面積＝1：4

⇒ EB：FG＝1：2

⇒ FG＝10㎝、EB＝5㎝

EB：DC＝2：5

EB＝5㎝

⇒ DC＝5㎝× 5/2＝25/2㎝

正方形ABCDの面積

＝ 25/2㎝ × 25/2㎝ ＝ 625/4㎠

△EAD∽△EBH∽△FGH∽△DCH

この4つの三角形が相似だ。

相似比は3：2：4：5だよ、確認してね！

よって、答えは625/4㎠となる。

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消去算５。

 【 問題 】２～４年生向け

商品Aと商品Bを何個かずつ買うと以下の金額になります。ただし、送料は何個買っても同じ金額です。

・ Aを4個とBを2個と送料の合計金額は4400円

・ Bを6個と送料の合計金額は3200円

・ Aを6個とBを4個と送料の合計金額は6800円

送料はいくらですか。

【 解答 】

数字に強くない子ほど一生懸命にやって欲しい問題。

では、いきましょう。

Ａ×4＋Ｂ×2＋送料＝4400 … ①

Ｂ×6＋送料＝3200円 … ②

Ａ×6＋Ｂ×4＋送料＝6800 … ③

③－①

⇒ Ａ×2＋Ｂ×2＝2400 … ④

①－④

⇒ Ａ×2＋送料＝2000 … ⑤

①＋③－②

⇒ Ａ×10＋送料＝8000 … ⑥

⑥－⑤

⇒ Ａ×8＝6000

⇒ Ａ＝750円

できました☆

⑤、Ａ＝750円

⇒ 1500＋送料＝2000

⇒ 送料＝500円

Ｂも出しておこう。

②、送料＝500円

⇒ Ｂ×6＋500＝3200

⇒ Ｂ＝450円

よって、答えは500円となる。

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植木算２。

 【 問題 】４年生向け

A地点からB地点まで木を植えるために▢本の木を用意しました。A地点から8m間隔で植えていくと木が足りなく、B地点の手前135mの地点まで木を植えることになります。また、A地点から10m間隔で植えていくと木が5本余り、B地点の手前5mの地点まで木を植えることになります。

（１）▢にあてはまる数字はいくつですか。

（２）B地点で▢本目の木がちょうど植え終わるとき、木と木の間隔は何ｍですか。

【 解答 】

立式が簡単だから、植木算の鉄則、間の数から攻めていけばいいと思う。

では、いきます。

（１）

植木算で大事なのは間の数、これに尽きる。

間の数をまず考えて、それから木の本数を考えればいい。

▢本の木を全部植えたときの間の数を△（＝▢―1）とおいて立式してみる。

8m間隔の方はすぐに式が作れる。

AからBの距離

＝ 8m×△＋135m

これはいいね。

もうこれで2つの式のうち1つが作れた。あとは10m間隔の方の式を作ってあげればいい。

AからBの距離

＝ 10m×△－45m

これはどうだろう。

10ｍ間隔で▢本の木を全部植えてしまうと間隔が広すぎてＢ地点を超えてしまうんだ。

余ってる5本を植えようとすると、最後に植えた木の地点（Ｂ地点の5m手前）から、あと10m×5＝50m先まで植えることになる。

Ｂ地点の5m手前から50m先だから、Ｂ地点の45m（＝50－5m）先てことだ。

10ｍ間隔で木を全部植えるとＢ地点を45m超えてしまうから、その分を引いてあげないといけない。だから、AからBの距離は、10m×△－45m、となるんだね。

できました☆

AからBの距離

＝ 8m×△＋135m ＝ 10m×△－45m

⇒ 2×△＝180

⇒ △＝90

△＝90は間の数だから、＋1をしてあげれば木の本数だね。

90＋1＝91本

よって、答えは91となる。

（２）

AからBの距離を出してあげる。

8m×△＋135m ＝ 10m×△－45m

これに△＝90を入れてあげればいい。

8×90＋135＝10×90－45＝855m

AからBの距離は855m、ここに91本を等間隔で植えるんだ。

91本の木を植える＝間の数が90個、植木算は間の数が大事だよ！

できました☆

855m÷90＝9.5m

9.5m間隔で植えてあげると、91本目の木がちょうどＢ地点に植えられることになる。

よって、答えは9.5mとなる。

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食塩水１０。

 【 問題 】５年生向け

濃度26％の食塩水が水そうに入ってます。この水そうに一定の割合（1秒あたり同じ量）で水を注入していったところ、水を注入し始めてから4分10秒後に食塩水の濃度は1％になりました。食塩水の濃度が10％になったのは、水を注入し始めてから何秒後ですか。

【 解答 】

小学校でも新たな学年がスタート、前学年が不本意な結果だった子は勉強の仕方を大人と相談しながら（勉強の仕方を変える・変えないどちらにせよ、確認は必要だよ！）、気持ちを新たに取り組んでいこう。

では、いきます。

天秤図を使わずに解いてみるね。

水を加えるだけで食塩の量は変わらないから逆比で攻める。

（ Read more » cf.食塩水1 ）

▢×26％＝◯×1％（＝食塩の量）

⇒ ▢：◯＝1：26

⇒ 初めの量の▢＝1に対して、加えた水の量は26－1＝25

▢×26％＝△×10％（＝食塩の量）

⇒ ▢：△＝5：13

⇒ 初めの量の▢＝5に対して、加えた水の量は13－5＝8

初めの量の▢は同じだから、ここでは、1と5の最小公倍数5でそろえてあげよう。

1％の式を×5してあげればいいね。

▢×26％＝◯×1％

⇒ ▢：◯＝5：130

⇒ 初めの量の▢＝5に対して、加えた水の量は130－5＝125

▢×26％＝△×10％

⇒ ▢：△＝5：13

⇒ 初めの量の▢＝5に対して、加えた水の量は13－5＝8

できました☆

125の水の量を入れるのに4分10秒＝250秒かかった。8の水の量を入れる時間を出してあげればいい。

250秒× 8/125＝16秒

逆比を使いこなせるように練習しよう！

よって、答えは16秒後となる。

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食塩水９。

 【 問題 】４年生向け

食塩と水の割合が3：50である食塩水Aに、12％の食塩水500gを加えたところ、食塩と水の割合が1：12の食塩水Bができました。食塩水Aに含まれていた食塩は何gですか。

【 解答 】

天秤図で解くよりも倍数変化算で解いた方がスムーズかもね。

では、いきましょう。

ここでは倍数変化算で解く。

（ Read more » cf.倍数変化算3 ）

食塩水Aの食塩＝③

食塩水Aの水＝㊿

12％の食塩水500g＝食塩60g＋水440g

すると、次のように立式できる。

③＋60 ： ㊿＋440 ＝ 1 ： 12

あとはこれを解くだけ。

③＋60 ： ㊿＋440 ＝ 1 ： 12

⇒ ㊿＋440＝㊱＋720

⇒ ⑭＝280

⇒ ①＝20

⇒ ③＝60

食塩水Aの食塩

③＝60

食塩水Aの水

㊿＝1000

食塩水A

60＋1000＝1060g

くどくどと確認して問題把握に努めよう！

よって、答えは60gとなる。

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食塩水８。

 【 問題 】５～６年生向け

食塩水A15gに水210gを加えると食塩水Bと同じ濃度になります。

食塩水Ａ265gに食塩10gを加えると食塩水Cと同じ濃度になります。

食塩水Bと食塩水Cを同じ量で混ぜると食塩水Aと同じ濃度になります。

食塩水Aの濃度は何％ですか。

【 解答 】

たとえば、小難しい解き方をすると次のような感じになる。

15＋210＝225

265＋10＝275

225：275＝9：11

水＝210×11＝2310

食塩＝10×9＝90

90÷(2310＋90)＝3.75％

天秤図も不要だし速いと言えば速い。でも、これは通常運転ではないだろう。

そうではなくて、正面から攻めればいいんだ。自分の知ってる形に持ち込めるよう、わかるところから順々に出していけば正答に辿り着ける。

受験算数において、気づけと言うのは簡単だけど、実際に気づくのは簡単ではない。

自分の知ってることを増やし、自分の知ってる形に持ち込む、これこそが受験算数における取り組み姿勢だ。

天秤図に慣れてから取り組んでみよう。

では、いきます。

1つ目、食塩水A15gに水210gを加えると食塩水Bと同じ濃度、これを見た瞬間に

Aの濃度：Bの濃度＝15：1

⇒ Aの濃度＝⑮％、Bの濃度①％

がわかるようになって欲しい（ Read more » cf.食塩水1 ）。

2つ目、食塩水Bと食塩水Cを同じ量で混ぜると食塩水Aと同じ濃度、これを見た瞬間に

Aの濃度＝⑮％、Bの濃度①％

⇒ Cの濃度＝㉙％、Aの濃度＝⑮％、Bの濃度＝①％

がわかるようになって欲しい。そう、真ん中平均だね。

これでほぼ完成です。

あとはみんなが得意の天秤図に持ち込むだけ。

3つ目、食塩水Ａ265gに食塩10gを加えると食塩水Cと同じ濃度、これを天秤図に落とし込んであげる。練習のときは急がずに丁寧に書けばいいよ。

整理してあげると

小難しいことをやれてしまう子はいい、自由自在に躍動して欲しい。でも、そうではない大半の子は、原則を意識して外さずに、自分の知ってる形に持ち込むんだ！気づきという誘惑的な安易な言葉に頼るな！

よって、答えは3.75％となる。

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食塩水７。

 【 問題 】５年生向け

ビーカーに6％の食塩水120gが入ってます。

このビーカーに、食塩水A▢gを加えると10％になります。

このビーカーに、食塩水B▢gを加えると8％になります。

食塩水Aと食塩水Bの濃度の差は5％です。

▢に入る数字はいくつですか。ただし、▢には同じ数字が入ります。

【 解答 】

食塩水の天秤図が食塩のやり取りを表していることがきちんとわかっていれば、暗算でできちゃうね。こういう発想が受験数学にはない、受験算数の良さの1つだと思います。

では、いきましょう。

まず、AとBはどちらが濃いのだろうか？そう、もちろんAだ。だって、同じ量を加えたとき、Aを加えた方が濃くなってるね。

ここで問題把握のために天秤図を書いてみよう。

すると、次のような感じになる。

前回の問題を思い出して欲しい。

天秤図で解く、逆比！のイメージが強いと思うけど、天秤図は食塩のやり取りを表している（ Read more » cf.食塩水6 ）。

120g×(10－6)%＝▢g×(A－10)％

120g×(8－6)%＝▢g×(B－8)％

少し計算すると

120g×4%＝▢g×(A－10)％

120g×2%＝▢g×(B－8)％

ここで、A＝B＋5、を入れてあげると

120g×4%＝▢g×(B＋5－10)％

120g×2%＝▢g×(B－8)％

少しまとめて解いてみると

120g×4%＝▢g×(B－5)％

120g×2%＝▢g×(B－8)％

⇒ 120g×2％＝▢g×3％

⇒ ▢＝80

どうだろう、きちんと理解すれば暗算でできそうじゃないか？

Aを加えたときに比べてBを加えたときは、6％の食塩水は120g×2％だけ少なく食塩をもらった。なぜなら、BはAよりも濃度が低いからだ。

一方で、BはAよりも食塩を少なくあげたんだ。

A－10％(＝B＋5－10＝B－5％)とB－8％を比べると、その差は3％になる。

つまり、Bは▢g×3％だけ少なく食塩をあげたんだ。

120g×2％＝▢g×3％

この式を問題から1発で導けるようになって欲しい。

120g×2％＝▢g×3％

⇒ ▢＝80

ちなみに、AとBの濃度も出しておこうか。

Aの濃度

＝10％＋4％× 3/2＝16％

Bの濃度

＝8％＋2％× 3/2＝11％

ちゃんと濃度差も5％になってるね！

天秤図では逆比はもちろんだけど、あげる食塩の量＝もらう食塩の量、も意識してみよう！

よって、答えは80となる。

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食塩水６。

 【 問題 】４年生向け

3％の食塩水450gと5％の食塩水90gと食塩▢gを混ぜたら10％の食塩水ができました。

▢にあてはまる数字はいくつですか。

【 解答 】

食塩水の基本問題。これをどう解くか。

1つは、天秤図。

食塩のやり取りを天秤図、でやってあげる。

もう1つは、食塩/食塩水。

差が変わらないから差をそろえる＝倍数算、でやってあげる。

この問題であれば、生徒の習熟度次第ではあるけど、僕は天秤図を優先で教える。でも、食塩/食塩水も教えると思う。両方とも大事だから、両方を提示する。別の解き方を生徒がしてくれるなら、それは生かしながら進める。

何が言いたいかというと、算数は教え手・解き手によって解き方が大きく異なる。解き方が異なるのは構わない、ただ、とくに教え手について言えることなんだけど、一貫性と再現性だけは気にしないといけない。

では、いきましょう。

まずは、天秤図から。

10％を基準にして、右側の濃い食塩水から、左側の薄い食塩水に食塩をあげてるんだ。

そう、あげる食塩の量ともらう食塩の量がつり合ってるんだ。

右側のあげる食塩：▢g×(100－10)％

左側のもらう食塩：450g×(10－3)％＋90g×(10－5)％

右側の食塩水は食塩をあげて10％に、左側の食塩水は食塩をもらって10％になるんだ。

これを理科のてこの原理みたいに書くと上のような感じになる。

▢×(100－10)＝450×(10－3)＋90×(10－5)

⇒ ▢×90＝3600

⇒ ▢＝40

食塩水が4種類でも5種類でもいけるから便利だとは思う。

次は、食塩/食塩水で解いてみる。

全部の食塩水と食塩を足したら濃度が10％＝1/10になった。

分母に食塩水、分子に食塩を書いてあげる。

食塩▢gの▢は分子と分母の両方に書くんだよ、だって、食塩水＝食塩＋水、でしょ。食塩を加えれば、当然、食塩水の量も増える。

あとは、差が変わらない倍数算。

同じ▢を足したのだから分母と分子の差は変わらないはず、だから、そろえてあげる。

分母と分子の差

540－18＝522g

この差の522gは変わらない。

1/10の分母と分子の差

10－1＝9

⇒ 522÷9＝58倍

⇒ 1/10＝58/580

そう、1/10というのは約分する前は、58g/580g、だったんだね。

18+▢＝58

540+▢＝580

⇒ ▢＝40

小学生は天秤図を書くの巧いし速いからね、天秤図で感覚を鍛えた方が良いかも。

よって、答えは40となる。

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