【 問題 】５年生向け
三角形ABCの辺上に、点D、点E、点F、点Gがあり、DEとGFは平行です。
BE＝6㎝、EF＝25㎝、FC＝8㎝で、三角形DBEの面積が36㎠、三角形GFCの面積が40㎠です。
三角形ABCの面積は何㎠ですか。
【 解答 】
相似をひと通り学んで、相似比や面積比がしっかりと身についてから取り組もう。では、いきます。
まずは、DEとGFが平行だから、△DBE（底辺BE）と△GFC（底辺FC）の高さの比がDE：GFになる。
△DBEの面積
＝36㎠
＝6㎝×高さ× 1/2
⇒ 高さ＝12㎝
△GFCの面積
＝40㎠
＝8㎝×高さ× 1/2
⇒ 高さ＝10㎝
△DBEと△GFCの高さの比
⇒ 12㎝：10㎝＝6：5
⇒ DE：GF＝6：5
ここで鉄則を思い出そう。
鉄則２．平行線があれば相似を疑う
（ Read more » cf.面積2 ）
相似が出現するように補助線を引く。
上図のようにAを通りDEとGFに平行な補助線AHを引いてあげる。
△ABHと△DBE、△ACHと△GCF、2組の相似が出現した。
ここで、取り敢えず、AHの長さを⑥と⑤の最小公倍数の30でパッとおいてあげると記憶に残りやすいかもしれない。
どういうことかというと、、、
△ABHと△DBEは相似、ということは、⑥を ” 何倍か ” に拡大したらAHの長さになる。
同じように、△ACHと△GCFは相似、ということは、⑤を ” 何倍か ” に拡大したらAHになる。
その ” 何倍か ” にが、⑥と⑤の逆比の5：6なんだ。
⑥×▢＝⑤×△＝AH
⇒ ▢：△＝5：6
つまり、DEとGFに5：6の割合でかけ算してあげるとAHの長さになる。
ということは、BEとCFに5：6の割合でかけ算してあげるとBH：CHが出せるんだ。
DE：AH＝BE：BH
GF：AH＝CF：CH
相似の対応する辺を意識してね！
BH：CH
＝BE×5：CF×6
＝6㎝×5：8㎝×6
＝5：8
できました☆
BH：CH＝5：8
BC＝6㎝＋25㎝＋8㎝＝39㎝
⇒ BH＝39㎝× 5/13＝15㎝
⇒ CH＝39㎝－15㎝＝24㎝
BE＝6㎝、FC＝8㎝
BH＝15㎝、CH＝24㎝
⇒ △ABHの面積＝36㎠× 25/4＝225㎠
⇒ △ACHの面積＝40㎠×9＝360㎠
△ABCの面積
＝△ABHの面積＋△ACHの面積
＝225㎠＋360㎠＝585㎠
長さの関係をまとめると下のような感じになる。
相似における長さの比、面積の比、当たり前になるまで反復しよう！
よって、答えは585㎠となる。
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